§ 6. Компоненты тензора скоростей деформации частицы

Рассмотрим два прямолинейных элементарных отрезка частицы, параллельных осям (рис. 4). Через промежуток времени эти отрезки сместятся и изменят свои длины и направления. Пусть элементарное смещение точки О будет:

тогда векторы смещений точек могут быть представлены в виде

Рис. 4.

При этих предположениях будем иметь следующие координаты точек

На основании этих координат находим значения длин отрезков:

Таким образом, относительные удлинения отрезков, параллельных осям будут представляться в виде

Раскладывая правые части по биному Ньютона и ограничиваясь лишь слагаемыми, содержащими в первой степени, получим:

Если относительные удлинения отрезков разделить на промежуток времени, в течение которого образовались эти относительные удлинения, и перейти к пределу, уменьшая промежуток времени до нуля, то получим скорости деформации удлинений рассматриваемых отрезков

Таким образом, величины

представляют собой скорости деформаций удлинений отрезков, параллельных осям координат. Определим теперь величину сношения прямого угла между отрезками На основании формулы квадрата стороны против острого угла в треугольнике находим:

Подставляя в правую часть значения длин из (6.1) с точностью до в первой степени и производя соответственные сокращения, получим:

Значение косинуса угла будет характеризовать скошение прямого угла за промежуток времени Если величину этого скошения разделить на промежуток времени и перейти к пределу, уменьшая до нуля, то получим скорость деформации скощения или сдвига.

Итак, величины

— скорости деформаций сдвига в трёх координатных плоскостях.

Рис. 5.

Найдём теперь скорость объёмной деформации. Объём параллелепипеда, рёбрами которого служат отрезки будет (рис. 5):

объём же косоугольного параллелепипеда, составленного из отрезков будет представляться в виде определителя третьего порядка из разностей координат концов этих отрезков, т. е.

Таким образом, относительное изменение объёма с точностью до в первой степени будет представляться в виде

Разделяя величину относительной объёмной деформации на промежуток времени и переходя к пределу при получим скорость относительной объёмной деформации

Следовательно, скорость относительной объёмной деформации частицы представляется в виде суммы скоростей деформаций удлинений трёх взаимно перпендикулярных отрезков этой частицы.

Найдём скорость абсолютного удлинения отрезка ОМ произвольного направления. Для этого вектор относительной скорости представленный в виде (5.8), спроектируем на направление самого отрезка ОМ, т. е. умножим скалярно на единичный вектор

Так как при этом проекция вектора линейной скорости от вращения будет равна нулю, то скорость абсолютного удлинения отрезка будет представляться в виде

С другой стороны, скорость абсолютного удлинения отрезка можно представлять в виде производной по времени от длины самого отрезка, т. е. в виде

В таком случае из (6.5) будем иметь производную по времени от квадрата длины элементарного отрезка произвольного направления в виде

Итак, с помощью шести величин полностью определяется абсолютная скорость удлинения элементарного отрезка произвольного

направления. На этом основании таблица, составленная из отдельных компонент скорости деформации частицы

называется тензором скоростей деформации частицы. Тензор скоростей деформации определяет всё состояние деформаций в достаточно малой области около каждой точки пространства, занятого жидкостью.

Заметим, что деформация частицы была выше охарактеризована компонентами скоростей деформации, содержащими лишь первые производные от компонент скоростей смещения. Это случилось потому, что мы в разложении (5.1) ограничились членами, содержащими лишь в первой степени, и пренебрегли последующими членами вида

Следовательно, не при всяких размерах частицы и не при всяких изменениях вектора скорости деформация частицы может быть охарактеризована введённым тензором скоростей деформации. Тензор скоростей деформаций, содержащий лишь первые производные от скоростей смещения, будет в достаточной мере характеризовать деформацию частицы тогда, когда размеры её будут настолько малы, что невыписанный последующий член разложения (5.1) будет по модулю намного меньше модуля суммы слагаемых, содержащих первые степени т. е.

Неравенство (6.8) позволяет определить допускаемый наибольший размер частицы, при котором её деформация вполне характеризуется тензором скоростей деформаций (6.7).