Главная > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Компоненты тензора скоростей деформации частицы

Рассмотрим два прямолинейных элементарных отрезка частицы, параллельных осям (рис. 4). Через промежуток времени эти отрезки сместятся и изменят свои длины и направления. Пусть элементарное смещение точки О будет:

тогда векторы смещений точек могут быть представлены в виде

Рис. 4.

При этих предположениях будем иметь следующие координаты точек

На основании этих координат находим значения длин отрезков:

Таким образом, относительные удлинения отрезков, параллельных осям будут представляться в виде

Раскладывая правые части по биному Ньютона и ограничиваясь лишь слагаемыми, содержащими в первой степени, получим:

Если относительные удлинения отрезков разделить на промежуток времени, в течение которого образовались эти относительные удлинения, и перейти к пределу, уменьшая промежуток времени до нуля, то получим скорости деформации удлинений рассматриваемых отрезков

Таким образом, величины

представляют собой скорости деформаций удлинений отрезков, параллельных осям координат. Определим теперь величину сношения прямого угла между отрезками На основании формулы квадрата стороны против острого угла в треугольнике находим:

Подставляя в правую часть значения длин из (6.1) с точностью до в первой степени и производя соответственные сокращения, получим:

Значение косинуса угла будет характеризовать скошение прямого угла за промежуток времени Если величину этого скошения разделить на промежуток времени и перейти к пределу, уменьшая до нуля, то получим скорость деформации скощения или сдвига.

Итак, величины

— скорости деформаций сдвига в трёх координатных плоскостях.

Рис. 5.

Найдём теперь скорость объёмной деформации. Объём параллелепипеда, рёбрами которого служат отрезки будет (рис. 5):

объём же косоугольного параллелепипеда, составленного из отрезков будет представляться в виде определителя третьего порядка из разностей координат концов этих отрезков, т. е.

Таким образом, относительное изменение объёма с точностью до в первой степени будет представляться в виде

Разделяя величину относительной объёмной деформации на промежуток времени и переходя к пределу при получим скорость относительной объёмной деформации

Следовательно, скорость относительной объёмной деформации частицы представляется в виде суммы скоростей деформаций удлинений трёх взаимно перпендикулярных отрезков этой частицы.

Найдём скорость абсолютного удлинения отрезка ОМ произвольного направления. Для этого вектор относительной скорости представленный в виде (5.8), спроектируем на направление самого отрезка ОМ, т. е. умножим скалярно на единичный вектор

Так как при этом проекция вектора линейной скорости от вращения будет равна нулю, то скорость абсолютного удлинения отрезка будет представляться в виде

С другой стороны, скорость абсолютного удлинения отрезка можно представлять в виде производной по времени от длины самого отрезка, т. е. в виде

В таком случае из (6.5) будем иметь производную по времени от квадрата длины элементарного отрезка произвольного направления в виде

Итак, с помощью шести величин полностью определяется абсолютная скорость удлинения элементарного отрезка произвольного

направления. На этом основании таблица, составленная из отдельных компонент скорости деформации частицы

называется тензором скоростей деформации частицы. Тензор скоростей деформации определяет всё состояние деформаций в достаточно малой области около каждой точки пространства, занятого жидкостью.

Заметим, что деформация частицы была выше охарактеризована компонентами скоростей деформации, содержащими лишь первые производные от компонент скоростей смещения. Это случилось потому, что мы в разложении (5.1) ограничились членами, содержащими лишь в первой степени, и пренебрегли последующими членами вида

Следовательно, не при всяких размерах частицы и не при всяких изменениях вектора скорости деформация частицы может быть охарактеризована введённым тензором скоростей деформации. Тензор скоростей деформаций, содержащий лишь первые производные от скоростей смещения, будет в достаточной мере характеризовать деформацию частицы тогда, когда размеры её будут настолько малы, что невыписанный последующий член разложения (5.1) будет по модулю намного меньше модуля суммы слагаемых, содержащих первые степени т. е.

Неравенство (6.8) позволяет определить допускаемый наибольший размер частицы, при котором её деформация вполне характеризуется тензором скоростей деформаций (6.7).

1
Оглавление
email@scask.ru