§ 10. Плоско-параллельное радиальное течение вязкой жидкости

Предположим, что траектории всех частиц вязкой и несжимаемой жидкости при её установившемся движении представляют собой прямые линии, расходящиеся от оси , т. е.

При этом предположении дифференциальные уравнения (7.1) в цилиндрических координатах принимают вид

На основании последнего уравнения (10.2) мы заключаем, что произведение радиальной скорости на радиус не будет зависеть от . Положим:

Будем предполагать движение плоско-параллельным, т. е.

После интегрирования по второго уравнения (10.2) получим:

Подставляя значения из (10.3) и из (10.5) в первое уравнение (10.2), получим:

Так как левая часть (10.6) не зависит от , а правая часть зависит только от , то обе части должны быть равны одной и той же

постоянной величине, т. е.

Отсюда находим выражение для функции

Таким образом, давление в рассматриваемом радиальном течении будет представляться в виде

Дифференциальное уравнение для функции и будет иметь вид

Умножим обе части этого уравнения на и проинтегрируем; получим:

или

где представляет собой многочлен третьей степени

    (10.10)

Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разделяя переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического интеграла

    (10.11)

Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си D, для определения которых необходимо задать граничные условия.

Рис. 37.

Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла раствора через . В силу условия прилипания:

    (10.12)

Для расхода Q будем иметь следующее выражение:

    (10.13)

Будем различать два случая радиального течения: расходящееся и сходящееся. Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а величина и убывает от оси к верхней стенке, т. е.

а для сходящегося течения, наоборот,

Обозначим корни многочлена (10.10) через т. е. положим:

Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (10.10) с обратным знаком

    (10.14)

Пусть все эти корни действительны и пусть

Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой, подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат и пересекающей ось абсцисс три раза (рис. 38).

Рис. 38.

Так как многочлен входит в правую часть (10.9) с отрицательным множителем, а левая часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет положительным, должны исключаться из рассмотрения (эти области покрыты штриховкой). В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс должно входить в области, где Но левее точки начало оси абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а это исключено соотношением (10.14). Следовательно, начало оси абсцисс должно располагаться где-то между и оно будет разбивать область возможного радиального течения на две отдельные области. Для области справа от начала мы будем иметь:

    (10.15)

Этой области будет отвечать чисто расходящееся радиальное течение. Для области же слева от начала будут иметь место неравенства

    (10.16)

т. е. этой области будет отвечать чисто сходящееся течение. Так как корни многочлена отвечают экстремальным значениям функции и то в первом случае величина будет представлять собой максимальное значение и, имеющее место на линии симметрии а во втором случае будет представлять. минимальное значение и, имеющее место также при

Рис. 39.

Если же многочлен будет иметь только один действительный корень то график этого многочлена будет примерно представляться кривой на рис. 39. Область, расположенная справа от где должна исключаться из рассмотрения. Начало оси абсцисс должно располагаться тогда слева от Области, расположенной между началом и будет отвечать чисто расходящееся течение, для которого имеют место неравенства

    (10.17)

Таким образом, для чисто расходящегося течения из (10.9) и (10.13) имеем:

    (10.18)

Проводя интегрирование по переменному и в пределах от до нуля, а по от нуля до и используя (10.14), получим:

    (10.20)

Полученные соотношения (10.20), (10.21) и (10.22) позволяют определить значения трёх корней по заданным значениям и v. Практически же, конечно, удобнее поступать в обратном

порядке, т. е. задавать два значения из трёх и определять отвечающие им значения . Для чисто сходящегося течения из (10.9) будем иметь:

    (10.24)

Для определения же значений должны быть использованы следующие соотношения:

    (10.25)

На основании соотношений (10.20), (10.21) и (10.22) можно показать, что чисто расходящееся течение будет возможно только при сравнительно малых углах раствора плоского диффузора. Чтобы показать это, установим два неравенства. Если правую и левую части (10.20) умножить на то в силу того, что

правая часть (10.20) с множителем будет больше правой части (10.21). Следовательно, будем иметь неравенство

    (10.28)

Смысл этого неравенства очевиден: произведение половины угла раствора плоского диффузора на радиус и на максимальную скорость, имеющую место на линии симметрии, конечно, будет превышать значение половины общего расхода.

Далее, так как

и все слагаемые в квадратной скобке под знаком корня в (10.20) положительны, то, отбрасывая в этой скобке слагаемые мы уменьшим знаменатель под интегралом и, следовательно, увеличим всё подинтегральное выражение, т. е. будем иметь:

Интеграл, входящий в правую часть (10.29), имеет следующее значение:

Следовательно, неравенство (10.29) представляется в виде

    (10.30)

Таким образом, расходящееся течение в плоском диффузоре возможно при половинном угле раствора удовлетворяющем неравенству (10.30). С увеличением расхода, т. е. увеличением и с уменьшением кинематического коэффициента вязкости v предельный угол раствора диффузора для чисто расходящегося течения будет уменьшаться.

Из неравенства (10.30) будем иметь:

а из неравенства (10.28) получим:

Следовательно, правая часть второго неравенства будет заведомо меньше правой части первого неравенства

Так как расход Q имеет размерность произведения скорости на длину, то отношение расхода к кинематическому коэффициенту вязкости можно взять за число Рейнольдса плоского диффузора, т. е.

Таким образом, чисто расходящееся течение в плоском диффузоре возможно только при тех значениях числа Рейнольдса, которые удовлетворяют неравенству

    (10.32)

Например, при должно быть:

Если число Рейнольдса немного превзойдёт предел, допускаемый неравенством (10.32), то в ядре вблизи линии симметрии течение будет расходящимся, а вблизи стенок теоретически оно должно было бы стать сходящимся, а практически будет происходить отрыв жидкости от стенок. Таким образом, рассмотренная задача о радиальном течении в плоском диффузоре поучительна в том отношении, что решение её указывает теоретически на возможность отрыва жидкости от стенок в расходящемся течении, что в действительности часто и происходит.

Обратимся теперь к чисто сходящемуся течению. Соотношение (10.25) можно также представить в виде

Легко показать, что чисто сходящееся течение возможно при любых значениях числа Рейнольдса. Для этого будем уменьшать значение коэффициента вязкости до нуля. Так как левая часть (10.33) имеет конечное значение, то уменьшение v до нуля должно сопровождаться увеличением до бесконечности интеграла в правой части, что вполне возможно при приближении значения к значению Этим собственно и доказывается то, что чисто сходящееся течение в конфузоре возможно и при очень больших числах Рейнольдса (при очень малых значениях . Учитывая это, и считая v очень малым, можно положить в (10.23).

тогда получим:

Проводя интегрирование, получим:

или

    (10-34)

Если кинематический коэффициент вязкости очень мал, то левая часть будет достаточно велика при любом значении угла , отличном от

Чтобы при этом и правая часть (10.34) была также велика, необходимо и считать близким к . Это означает, что в сходящемся течении в плоском конфузоре при больших числах Рейнольдса распределение скоростей по углу будет почти равномерным, и лишь вблизи стенки эта скорость будет быстро убывать до нуля (рис. 40). Если бы жидкость считалась идеальной, то в случае стока на плоскости радиальная скорость представлялась бы в виде

и, следовательно,

    (10.35)

Рис. 40.

Сопоставляя этот результат с предшествующим заключением, мы приходим к выводу, что при больших числах Рейнольдса вязкость проявляется лишь в тонком слое вблизи стенки.

Рассматриваемое в этом параграфе плоское радиальное течение является простейшим частным случаем того точного решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, которое было впервые установлено Гамелем) и затем обобщено Озееном 2) и Розенблаттом в).