§ 2. Метод осреднения

Для изучения турбулентного движения жидкости широко используется метод осреднения не только отдельных кинематических и динамических характеристик движения, но и ряда уравнений. Напомним некоторые положения теоретической механики, которые до некоторой степени могут служить исходными механическими основаниями для использования метода осреднения.

Рассмотрим некоторую систему дискретно расположенных материальных точек. Положение точки этой системы с массой тк относительно некоторой инерциальной системы будет определяться радиусом-вектором Радиус-вектор центра масс С этой системы точек будет представляться в виде

где — число точек. Движение системы точек можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного движения, совпадающего с движением какой-либо точки, выбранной за полюс О, и совокупности относительных движений всех отдельных точек системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с полюсом, т. е.

где вектор скорости точки с массой тк по отношению к инерциальной системе, — вектор скорости полюса О по отношению к той же системе координат и — вектор скорости относительного движения рассматриваемой точки по отношению к системе, движущейся поступательно вместе с полюсом. Главный вектор количеств движения системы и кинетическая энергия системы при этом будут представляться в виде

Таким образом, кинетическую энергию движения системы относительно инерциальной системы отсчёта нельзя составлять как сумму кинетических энергий отдельных движений системы при произвольном выборе полюса. Но если за полюс выбрать центр масс системы материальных точек и положить:

где — радиус-вектор точки с массой тк, с началом его в центре масс, то при подстановке (2.4) в (2.1) получим:

    (2.5)

а после дифференцирования по времени (2.5) будем иметь:

Полученное равенство (2.6) означает, что главный вектор количеств относительных движений всех точек рассматриваемой системы по отношению к её центру масс равен нулю. Учитывая (2.6), получим из (2.3):

Таким образом, при выборе за полюс центра масс системы кинетическую энергию общего движения системы можно представлять как сумму кинетических энергий отдельных составляющих движений этой системы.

Приведённые выше положения из теоретической механики можно истолковать несколько иначе. Операции суммирования в (2.6) и (2.7) можно рассматривать как операции осреднения по массам точек рассматриваемой системы. Тогда поступательное переносное движение системы точек со скоростью можно рассматривать как осреднённое движение системы точек, а совокупность относительных движений точек системы по отношению к системе координат, перемещающейся вместе с центром масс поступательно, как совокупность пульсационных движений отдельных точек системы по отношению к осреднённому движению системы. При таком толковании

отдельных движений вектор будет представлять собой вектор скорости осреднённого движения системы, а вектор V — вектор скорости пульсационного движения рассматриваемой точки с массой тк. При этом осредненное значение вектора скорости пульсационного движения на основании (2.6) равно нулю. Если операцию осреднения в указанном выше смысле обозначать чертой сверху, то первое равенство (2.7) и равенство (2.6) можно представить в виде

Выделим теперь из системы точек подсистему из точек . Положение центра масс этой подсистемы точек по отношению к центру масс всей системы будет определяться равенством

Полагая

где — радиус-вектор точки подсистемы с началом в центре масс этой же подсистемы, получим:

Вектор скорости пульсационного движения точки подсистемы можно представить как сумму вектора скорости пульсационного движения центра масс подсистемы и вектора скорости вторичного пульсационного движения рассматриваемой точки по отношению к первичному осреднённому пульсационному движению подсистемы, т. е.

Для осреднённого значения скорости вторичного пульсационного движения получим из (2.10) после дифференцирования:

Проводя осреднение равенства (2.11) по массам точек подсистемы, получим:

При сопоставлении равенств (2.8) и (2.13) мы приходим к заключению, что результат осреднения существенно зависит от того, проводится это осреднение по всей системе точек или по отдельной подсистеме точек.

Разумеется, операцию разбиения системы на подразделения, содержащие всё меньшее и меньшее количество материальных точек, можно продолжать и далее. Следовательно, наряду с первичным пульсационным движением точек системы можно вводить в рассмотрение вторичные пульсационные движения точек отдельных подсистем всей системы, третичные пульсационные движения точек дальнейших подразделений подсистем и т. д.

От дискретной системы материальных точек перейдём теперь к сплошной среде. При этом переходе мы должны ввести в рассмотрение плотность среды , элементарный объём где x, у, z - координаты элементарного объёма по отношению к системе координат с началом в центре фиксированного объёма , координаты центра объёма z по отношению к инерциальной системе отсчёта х, у и z и операцию суммирования заменить операцией интегрирования. Выбор объёма предопределяет выбор координат его центра х, у, z, но ещё не предопределяет выбора текущих координат х, у, z, поэтому обе группы координат можно рассматривать как две группы независимых переменных. Для точек, находящихся внутри объёма , вектор истинной скорости необходимо рассматривать как функцию от всех шести указанных координат, т. е.

Вектор же скорости осреднённого движения частиц в объёме будет функцией от координат центра объёма и времени, т. е.

Операции осреднения при этом определяются следующим образом:

Поле скоростей в объёме - будет составляться из поля равных скоростей осреднённого движения и дополнительного поля переменных скоростей, называемого полем пульсаций. При этом вектор скорости поля пульсаций определяется как разность вектора истинной скорости и вектора скорости осреднённого движения, т. е.

Если провести операцию осреднения над обеими частями равенства (2.15) и использовать (2.14), то получим:

т. е. осредненное значение вектора скорости поля пульсаций в фиксированном объёме z равно нулю.

Операция осреднения (2.14) имеет тот же механический смысл, что и операция выделения из движения системы материальных точек переносного движения вместе с центром масс системы, и равенство (2.16) при этом выполняется строго.

Будем теперь плотность среды считать постоянной в пределах рассматриваемого объёма , т. е.

Тогда из операции осреднения (2.14), имеющей определённый механический смысл, мы получим чисто математическую операцию осреднения по объёму

Такого рода математическую операцию осреднения по объёму можно теперь проводить по всем величинам, связанным с каждой точкой объёма осреднения, и даже по тем соотношениям и уравнениям, которые должны выполняться для каждой точки в объёме Следовательно, наряду с вектором скорости осреднённого движения U можно ввести осреднённое давление , тензор осреднённых напряжений осреднённую температуру Т с помощью следующих равенств:

В таком случае под пульсациями давления, тензора напряжений и температуры следует понимать величины, представляемые в виде следующих разностей:

Проводя осреднение по объёму всех равенств (2.20) и используя (2.19), получим:

Наряду с математической операцией осреднения по объёму можно ввести также формально математическую операцию осреднения по времена. Обозначим величину фиксированного интервала времени осреднения через М, и пусть центр этого интервала времени совпадает с фиксированным произвольным моментом времени t. Тогда под осреднёнными значениями вектора скорости и, например, давления в центре объёма с координатами х, у и z необходимо понимать величины, представленные в виде следующих равенств:

Пульсации вектора скорости и давления по отношению ко времени в фиксированной точке с координатами х, у и z будут представляться в виде разностей

Если провести осреднение по времени равенств (2.23) и учесть (2.22), то получим:

Таким образом, осреднённые времени значения пульсаций всех кинематических и динамических характеристик движения среды равны нулю.

Наконец, формально математические операции осреднения по объёму и по времени можно объединить и под вектором скорости осреднённого движения частиц в фиксированном объёме и в фиксированном интервале времени понимать вектор, представляемый в виде

Вектор скорости поля пульсаций в какой-либо точке внутри объёма х и в какой-либо момент времени внутри интервала времени будет представляться в виде разности

Проводя осреднение (2.26) и по объёму и по времени в смысле (2.25), снова получим, что осреднённое значение вектора скорости поля пульсаций равно нулю:

До сих пор мы проводили осреднение самих величин или разностей величин, отнесённых к одной и той же точке внутри фиксированного объёма и к одному и тому же моменту времени внутри фиксированного интервала времени. Покажем теперь, как должно проводиться осреднение произведений двух величин, отнесённых к одной

точке и к одному моменту времени. В качестве примера возьмём произведение проекции вектора скорости на ось х на сам вектор скорости

Заменяя каждый множитель через сумму его осреднённого значения и пульсационного значения, получим:

Если провести осреднение левой и правой частей равенства (2.28) по объёму и по времени в смысле (2.25) и при этом учесть (2.27). то для осреднённого значения произведения отнесённого к центру объёма тик середине интервала времени получим следующее выражение:

Обратим внимание на то, что все осреднённые значения должны относиться к центру фиксированного объёма и к середине фиксированного интервала времени.

Теперь мы должны уточнить вопрос о выборе фиксированного объёма х и фиксированного интервала времени 41. Можно, например, фиксированный объём и выбрать с помощью мысленного разбиения конечного объёма, занятого средой, на меньшие и не накладывающиеся друг на друга объёмы и. Точно так же фиксированный интервал времени М можно выбрать с помощью деления конечного промежутка времени на меньшие и не перекрывающие друг друга интервалы М. При таком выборе фиксированного объёма и фиксированного интервала времени операция осреднения будет означать переход от непрерывного отсчёта геометрических координат к дискретному отсчёту координат точек, совпадающих с центрами фиксированных объёмов, и переход от непрерывного отсчёта времени к счёту его через интервал времени При таком выборе объёма t и интервала времени осреднённые значения кинематических и динамических характеристик движения среды будут неизбежно претерпевать разрыв при переходе от одного центра объёма к другому и от одного центра интервала времени к другому. Порядок величин разрыва осреднённых значений будет находиться в прямой пропорциональности от порядка величин фиксированного объёма t и фиксированного интервала времени Следовательно, из восьми независимых аргументов, указанных, например, в равенстве (2.28), только четыре: х, у, z и t, во всех случаях можно изменять непрерывно в тех пределах, которые предопределяются выбором фиксированного объёма и и фиксированного интервала времени Только по отношению этих аргументов можно ставить вопрос о непрерывности и дифференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (2.26) и аналогичных равенствах для других кинематических и динамических характеристик движения среды. Что же касается аргументов z и t, то вопрос о том, можно ли этим переменным придавать непрерывные значения или необходимо придавать только разрывные значения, решается в зависимости от того, как осуществляется переход от одного фиксированного объёма к прилежащему другому объёму и от одного фиксированного интервала

к другому прилежащему или близкому интервалу времени. Если этот переход по каким-либо основаниям должен происходить без какого-либо пересечения нового объёма со старым и без какого-либо перекрытия нового интервала времени со старым, то этим переменным придётся придавать только разрывные значения. В этом случае нельзя говорить о непрерывности и дифференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (2.26) по отношению к переменным х, у, z и t. По отношению к этим переменным можно составлять только конечные разности кинематических и динамических характеристик движения среды и интегрирование заменять суммированием в смысле теории конечных разностей. Естественно поставить вопрос, можно ли привести пример, когда переход от одного фиксированного объёма к другому обязательно должен производиться без пересечения. Во всех тех случаях, в которых возникает необходимость вводить в рассмотрение макроскопические частицы среды, объёмы которых не могут уменьшаться беспредельно до нуля, переход от объёма одной фиксированной частицы к объёму соседней частицы, разумеется, не может происходить так, чтобы объём соседней частицы налагался на объём рассматриваемой частицы. Чтобы вести речь о макроскопической частице, сохраняющей в себе основные качества среды и своей индивидуальности хотя бы в течение короткого интервала времени конечно, необходимо за соседние частицы принимать только частицы, объёмы которых не перекрывают объём рассматриваемой частицы. Таким образом, для определения кинематических характеристик движения частицы (вихрь и тензор скоростей деформаций) дифференцирование проекций вектора скорости должно производиться только по относительным координатам х, у и г.

Но, как известно, для изучения ряда вопросов кинематики движения среды, за исключением вопроса об ускорении частицы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно на точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей. При изучении поля скоростей движения среды по методу Эйлера математическая операция осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести сглаживание вводимых кинематических и динамических характеристик движения среды. При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпевают скачкообразные изменения от одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другой. Сама по себе операция осреднения (2.25) позволяет только по скачкообразным значениям вектора скорости в пределах фиксированного объёма t и фиксированного интервала времени получить некоторое значение вектора скорости, которое мы относим к центру объёма и к центру интервала времени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта операция осреднения будет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объёма и фиксированного интервала времени В этом случае каждый следующий фиксированный объём будет обязательно налагаться на предшествующий в своей большей части и каждый следующий интервал времени будет перекрывать не полностью предшествующий интервал времени. Таким образом, математическая операция осреднения в данном случае позволяет перейти от полей векторных и скалярных величин, скачкообразно меняющихся во времени и в пространстве, к полям тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Однако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрение дополнительных местных полей (с размерами фиксированного объёма осреднения) пульсаций соответственных величин, причём эти пульсации изменяются скачкообразно во времени и в пространстве. С помощью операции осреднения поле, например, вектора скорости истинного движения жидкости в некотором конечном объёме, намного превышающем объём осреднения и, заменяется двойным полем, составленным из поля вектора осреднённой скорости, занимающего весь конечный объём, и из накладывающихся частично друг

на Друга полей пульсаций вектора скорости в окрестности каждой геометрической точки.

Ещё раз обратим внимание на то, что операция осреднения (2.25) может быть проведена над теми величинами и соотношениями, которые могут быть отнесены к каждой точке внутри объёма осреднения и к каждому моменту времени внутри интервала времени осреднения.

Рассмотрим теперь разность двух векторов скоростей. Возможны два подхода к определению этой разности. При первом подходе рассматриваются два вектора скорости в двух точках фиксированного объёма осреднения и в два момента времени внутри фиксированного интервала времени осреднения, но при этом центр фиксированного объёма осреднения остаётся одним и тем же (координаты х, у и z — одни и те же для двух векторов скоростей) и центр фиксированного интервала времени осреднения остаётся тем же самым (момент t берётся одним и тем же). Если в качестве первой точки четырёхмерного пространства мы возьмём центр фиксированного четырёхмерного объёма осреднения, а вторую точку в этом же фиксированном объёме возьмём с относительными четырёхмерными координатами , то разность векторов скоростей представится в виде

    (2.30)

Заменяя каждый из векторов (2.30) суммой вектора скорости осреднённого движения и соответственного вектора скорости пульсацнонного движения, получим:

т. е. разность скоростей истинного движения в двух точках четырёхмерного пространства равна разности скоростей общего пульсационного движения в фиксированном четырёхмерном объёме осреднения. Поскольку разность (2.31) может относиться к каждой точке четырёхмерного объёма осреднения, постольку можно провести осреднение этой разности в смысле (2.25). Выполняя фактически осреднение над каждым отдельным слагаемым в левой и правой части (2.31) только в смысле используя при этом (2.26) и (2.27), получим:

    (2.32)

Таким образом, осреднённое строго в смысле (2.25) значение разности скоростей в двух точках фиксированного четырёхмерного объёма осреднения представляет собой с обратным знаком вектор скорости пульсаций в центре объёма осреднения.

Обратимся ко второму способу определения разности двух векторов скоростей. Вводим два фиксированных четырёхмерных объёма, центры которых совпадают как раз с теми точками четырёхмерного пространства, к которым относятся два рассматриваемых вектора скорости движения среды, и вводим две системы координат с началами в этих центрах. Тогда разность (2.30) представится в виде

Если заменить каждый из векторов в правой части (2.33) через сумму соответственных векторов скоростей осреднённого и пульсационного движений, то получим:

    (2.34)

Таким образом, в этом случае разность скоростей истинного движения в двух рассматриваемых точках четырёхмерного пространства не будет равна разности скоростей пульсационных движений в окрестности этих точек. Умножая обе части равенства (2.34) на элементарный объём четырёхмерного пространства и проводя интегрирование по четырёхмерному объёму с центром в точке х, у, z и t, получим:

Интеграл от скорости пульсаций в текущей точке формально не совпадает с тем интегралом, который по определению осреднения обращается в нуль:

Поскольку левые части и последние слагаемые в правых частях равенств (2.31) и (2.34) равны между собой, то получаем следующее соотношение между векторами скоростей пульсаций в одной и той же точке четырёхмерного пространства, но введённых двумя различными способами:

    (2.37)

После проведения операции осреднения с помощью перекрывающихся объёмов осреднения вектор скорости осреднённого движения можно полагать дифференцируемым по всем переменным и поэтому

Для центра объёма осреднения должны выполняться равенства

Если провести осреднение равенства (2.37) в смысле (2.25) и учесть (2.27), (2.38), (2.39), то получим:

На основании равенства (2.40) приходим к заключению, что осреднённое по первому объему осреднения значение вектора скорости пульсаций во второй точке может считаться равным нулю тогда, когда все производные от вектора скорости осреднённого движения, начиная со вторых, равны нулюк На это обстоятельство и было обращено внимание ещё в основной работе О. Рейнольдса, где перечислены те случаи осреднённых движений, в которых осреднённое значение вектора скорости пульсаций во второй точке внутри первого объёма осреднения строго равно нулю.

Допустим, что в отношении, например, координаты х векторы скорости истинного движения и пульсационного движения являются дифференцируемыми функциями. В этом случае можно обе части равенств (2.31) и (2.34) разделить на приращение х и перейти к пределу. Тогда получим два выражения для первой производной от вектора скорости истинного движения в центре первого фиксированного объёма осреднения:

Левые части равенств (2.41) и (2.42) представляют одну и ту же величину. Различие же правых частей снова указывает на различие величин скоростей пульсаций в зависимости от того, считается ли осреднённое движение в пределах фиксированного объёма осреднения одним и тем же или оно выбирается для каждой точки этого объёма особо. Только при использовании скользящего объёма осреднения производная по какой-либо координате или времени от той или иной характеристики потока может быть представлена в виде суммы производных от осреднённого и пульсационного значения этой характеристики. Иначе говоря, в этом случае можно производить разложение той или иной величины на осреднённую и пульсационную под знаком производной. Вопрос о возможности перестановок операций осреднения и дифференцирования может ставиться только тогда, когда предполагается, что не только сами величины, но и их производные также непрерывны.

При этих дополнительных предположениях можно выполнять дифференцирование по параметрам под знаками интегралов в равенствах (2.25), (2.27) и (2.36). Только в этих случаях осреднённое значение производной от динамической или кинематической характеристики потока равно нулю строго для центра объёма осреднения и приближённо для другой точки в этом объёме, т. е.

Таким образом, результаты осреднения существенно зависят от того, как производится переход от одного фиксированного четырёхмерного объёма осреднения к соседнему. При втором описанном выше переходе центры фиксированных объёмов осреднения могут быть взяты как угодно близко друг от друга, но зато каждый новый объём будет обязательно налагаться на предшествующий. Первое обстоятельство обеспечивает сглаживание функций, т. е. получение непрерывных полей осреднённых величин. Второе же обстоятельство может сосдавать помехи к применению тех законов механики, которые относятся к взаимодействию фиксированных частиц среды.

Наконец, следует сделать замечание ещё и относительно самих размеров фиксированных объёмов осреднения. Если не налагать никаких дополнительных требований, то размеры четырёхмерных объёмов осреднения могут быть как угодно большими и как угодно малыми. Если не исключать случаи конечных разрывов скоростей истинного движения среды в ряде точек фиксированного четырёхмерного объёма осреднения, то с помощью уменьшения размеров объёма осреднения значение отношения модуля скорости пульсации в точке разрыва скоростей к модулю скорости осреднённого движения можно несколько уменьшить, но при этом возрастут отношения модулей пульсаций к модулям скоростей осреднённого движения в точках по соседству с точками разрыва скоростей истинного движения среды. Таким образом, малость размеров объёма осреднения ещё не предопределяет собой малость относительных величин пульсаций, если под последними подразумевать только разность истинного значения соответственной характеристики потока и её осреднённого значения в рассматриваемой точке внутри фиксированного объёма осреднения. Если четырёхмерные объёмы осреднения выбирать не налагающимися друг на друга, то с помощью уменьшения размеров этого объёма можно уменьшать отношение модуля разности значений осреднённых величин в центрах двух примыкающих друг к другу объёмов осреднения к модулю одной из них. Благодаря этому обстоятельству, например, дискретное поле скоростей можно считать достаточно близким к непрерывному полю скоростей. Если же объёмы осреднения будут налагаться друг на друга, то непрерывность поля осреднённых скоростей будет обеспечиваться независимо от размеров объёма осреднения непрерывным сдвигом центра объёма, но при этом с увеличением размеров объёма осреднения могут, вообще говоря, увеличиваться модули максимальных скоростей пульсаций и будут увеличиваться размеры тех областей потока,

тока, примыкающих к его границам, в которых осреднение с помощью этого объёма проводить нельзя.

Во всех случаях по мере приближения к границам потока объёмы осреднения должны уменьшаться для того, чтобы получать осреднённые величины для точек вблизи границы.

Обратимся теперь к вопросу об осреднении с точки зрения возможностей эксперимента. Во-первых, как бы малы ни были размеры приёмной части прибора, с помощью которого определяется скорость или давление, всё равно прибор регистрирует осреднённое значение этой величины, причём осреднение этим прибором производится одновременно и по объёму и по времени. Во-вторых, каждому данному прибору присущ свой фиксированный объём осреднения, и его варьировать нельзя. Что же касается интервала времени осреднения, то его можно варьировать в сторону больших интервалов времени, превышающих время срабатывания одного измерения. Таким образом, здесь представляется возможность определять пульсацию измеряемой величины в виде разности показания одного измерения и вычисленного осреднённого за некоторый интервал времени значения. Следовательно, в этом случае имеют место два осреднения: одно из них проводится самим прибором по объёму и времени, а второе проводится экспериментатором по времени по отношению к показаниям прибора. При наличии двух приборов или двух приспособлений, позволяющих без особых помех измерять скорость в двух точках, достаточно близких друг от друга, можно составлять разности показаний приборов, отнесённых к одному и тому же моменту времени. Эти разности можно осреднять только по времени. Если обозначить мгновенные показания прибора через , осреднённые значения этих показаний — через а пульсации — через то будем иметь:

    (2.45)

Если выполнить осреднение по времени обеих частей выражения (2.45) для разности мгновенных показаний и учесть предшествующие равенства, то получим:

    (2.46)

Таким образом, среднее значение разности измеренных скоростей в двух близких точках области течения равно разности осреднённых по времени измеренных скоростей в этих же точках.

На основании того, что сказано выше, можно придти к заключению, что определение пульсаций скорости или давления во времени и проведение осреднения измеряемых величин по времени сравнительно просто могут быть осуществлены при экспериментировании, например, с помощью термоанемометра с некоторыми приспособлениями. Что же касается пульсаций скорости или давления в пространстве, то для их определения надо измерить скорость или давление одновременно почти во всех точках внутри некоторого объёма, что осуществить без искажения самого течения пока не представляется возможным. В этом случае приходится довольствоваться одновременными измерениями в небольшом числе точек, на основании которых можно найти лишь приближённое значение осреднённой по объёму измеренной величины. Составляя разность измеренной величины в какой-либо геометрической точке и вычисленного осреднённого по объёму значения этой величины, можно получить пульсацию рассматриваемой величины в пространстве.

То обстоятельство, что экспериментально проще проводить осреднение измеряемых величин по времени, служит некоторым основанием к тому, чтобы и в вычислениях ограничиваться только осреднением по времени. Во всех последующих параграфах осреднение будет проводиться только по времени.