§ 4. Уравнение переноса полной энергии

Переходя к выводу уравнения изменения энергии в фиксированном элементарном объёме, заметим, что в термодинамике под внутренней энергией системы подразумевается та часть полной энергии, которая зависит от температуры, объёма и химического состава системы, при этом, если пренебрегать энергией взаимодействия частиц системы друг с другом, то внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, и поэтому можно ввести понятие удельной внутренней энергии , представляющей внутреннюю энергию единицы массы. Если мы будем рассматривать фиксированный объём, не изменяющийся во времени, то полная удельная энергия единицы массы будет состоять из кинетической энергии и внутренней энергии е.

Изменение полной энергии массы в фиксированном малом объёме за малый промежуток времени будет составляться из отдельных изменений за счёт: 1) входа и выхода масс через границы объёма, 2) элементарной работы объёмной силы F, 3) элементарной работы векторов напряжений и 4) притока тепла благодаря теплопроводности. Другие источники изменения полной энергии (излучение и пр.) мы учитывать не будем.

Подсчитаем отдельные изменения полной энергии в фиксированном параллелепипеде с рёбрами

В момент t масса, содержащаяся в фиксированном объёме будем иметь полную энергию, равную

а в момент будет иметь:

Следовательно, приращение полной энергии в фиксированном объёме за промежуток времени представится в виде

Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии и проходящую через точку О с координатами входящая масса внесёт с собой в параллелепипед следующее количество полной энергии:

Через противоположную грань, проходящую через точку с координатами выходящая масса вынесет количество полной энергии, равное

Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее количество полной энергии:

Повторяя такие же рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям получим:

Складывая выражения (4.2) и (4.3), получим приращение полной энергии в фиксированном объёме за счёт входа и выхода масс через

границы объёма за малый промежуток времени

Изменение полной энергии, обусловленное элементарной работой объемной силы F, представится в виде

Элементарная работа сил напряжений, распределённых по грани, перпендикулярной к касательной к координатной линии представится в виде

Элементарная работа сил напряжений, распределённых по противоположной грани, будет равна

алгебраическая сумма этих двух элементарных работ будет равна

Повторяя такие же рассуждения по отношению к другим граням, получим:

Складывая выражения (4.6) и (4.7), получим то изменение полной энергии в фиксированном объёме, которое обусловлено элементарной работой всех сил напряжений, распределённых по границам параллелепипеда:

Подсчитаем теперь приращение полной энергии, обусловленное процессом теплопроводности. Обозначим температуру через Т, коэффициент теплопроводности через а термический эквивалент работы через А.

Через переднюю грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии за промежуток времени будет передано по закону Фурье следующее количество тепла:

Через противоположную грань за тот же промежуток времени будет передано количество тепла, равное

Следовательно, внутри параллелепипеда задержится следующее количество тепла:

Повторяя такие же рассуждения по отношению к остальным граням параллелепипеда, получим:

Складывая выражения (4.9) и (4.10) и деля на термический эквивалент А, получим то приращение полной энергии в фиксированном объёме, которое обусловлено процессом теплопроводности:

Других источников изменения полной энергии в рассматриваемом объёме нет, поэтому приращение энергии, представленное выражением (4.1), мы должны приравнять сумме отдельных приращений, представленных формулами (4.4), (4.5), (4.8) и (4.11). Обе части полученного равенства разделим на и перейдём к пределу, стягивая параллелепипед в точку и уменьшая промежуток времени до нуля. В результате получим

следующее уравнение изменения полной энергии в фиксированной точке области, занятой средой:

Уравнение (4.12) можно также называть уравнением переноса полной энергии. Оно в своей простейшей форме было введено впервые в рассмотрение Н. А. Умовым в 1873 г.

Группируя слагаемые в правой части (4.12), получим:

Выражение в фигурной скобке в правой части (4.13) представляет собой дивергенцию особого вектора, который можно назвать вектором плотности потока переноса полной энергии. Обозначая этот вектор через Е, для его компонент будем иметь следующие выражения:

При этих обозначениях уравнение переноса полной энергии (4.13) представится в виде

В декартовых координатах уравнение переноса полной энергии (4.15) будет иметь вид

где проекции вектора плотности потока полной энергии равны