§ 6. Об устойчивости движения взвешенной частицы в ламинарном потоке

Первые экспериментальные исследования Людвига и Гагена, послужившие основанием для постановки вопроса об устойчивости и неустойчивости ламинарного движения в цилиндрической трубке, были проведены с помощью наблюдений над движением примешанных к воде видимых частиц. Такими частицами в опытах Гагена были опилки тёмного янтаря. В экспериментальных исследованиях Рейнольдса наблюдения проводились за поведением тонкой окрашенной струйки, вводимой в поток прозрачной жидкости.

Таким образом, при экспериментальных исследованиях производились лишь местные возмущения исследуемого ламинарного течения, а при теоретических исследованиях, рассмотренных в предыдущих параграфах, возмущения накладывались на всё течение в целом. В этом и заключаются расхождения между подходами в теории и в экспериментах. Поэтому всякая попытка приблизить подход в теории по вопросу об устойчивости ламинарного течения жидкости к тому подходу, который использовался в ряде экспериментов, может представлять известный интерес.

Рассмотрим движение частицы, введённой каким-либо образом в поток вязкой жидкости. Чтобы составить дифференциальные уравнения движения такой частицы, необходимо учесть, по возможности, все основные силы воздействия на частицу со стороны окружающей жидкости, находящейся в движении. Будем эти силы, относить к единице объёма оассматриваемой частицы. К основным силам следует отнести, во-первых, силу веса за вычетом статической силы Архимеда

где — плотность частицы, единичный вектор вертикальной оси у. Во-вторых, силу сопротивления, пропорциональную в первом

приближении разности скоростей частицы и местной скорости потока

где V — вектор скорости частицы, V — вектор местной скорости потока и — коэффициент сопротивления, который для шаровой частицы радиуса а будет равен

Помимо этих двух сил, необходимо учесть и боковую силу. Дело в том, что благодаря непрерывному распределению вихрей в ламинарном потоке относительное обтекание потоком частицы будет всегда циркуляционным и, следовательно, всегда будет возникать боковая сила, пропорциональная по теореме Н. Е. Жуковского относительной скорости набегающего потока и циркуляции. При обтекании плоскопараллельным потоком круглого цилиндра длины l полная подъёмная сила представляется в виде

а подъёмная сила, приходящаяся на единицу объёма цилиндра, будет равна

где — циркуляция, -скорость потока на достаточном удалении и — площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующей. При применении этой теоремы Жуковского к обтеканию частицы мы принимаем за скорость набегающего потока разность скоростей за вектор присоединённого вихря — вектор вихря рассматриваемого потока , за — сечение частицы той плоскостью, которая перпендикулярна к плоскости векторов и, наконец, за величину циркуляции по контуру сечения мы можем принять согласно теореме Стокса поток вектора вихря через , т. е.

Таким образом, боковую силу, приходящуюся на единицу объёма частицы, можно представить в виде

где — безразмерный коэффициент, с помощью которого можно приближённо учесть необходимые поправки на те допущения, которые связаны с распространением теоремы Жуковского, применимой к плоско-параллельному обтеканию бесконечного цилиндра, на рассматриваемый случай пространственного обтекания частицы произвольной формы. Если к тому же учесть, что формула Жуковского о подъёмной силе оправдывается экспериментально при малых углах

атаки обтекания продолговатых тел, а во всех других случаях эта подъёмная сила фактически оказывается меньше, чем по формуле Жуковского, то введённый коэффициент будет всегда меньше единицы.

Введённые силы (6.2) и (6.3) зависят от разностей скоростей частицы и потока в том месте, где частица находится, и они обращаются в нуль, если относительная скорость обращается в нуль. Однако нельзя думать, что в этом последнем случае рассматриваемая частица будет лишена всякого воздействия со стороны прилегающих частиц жидкости основного потока. Во всяком случае, воздействие окружающих частиц с помощью давления, представляющего собой результат молекулярных движений, должно сохраниться и при отсутствии относительной скорости движения частицы. Это воздействие единицу объёма частиц со стороны поля давлений основного потока будет представляться в виде

и оно будет зависеть только от положения частицы в потоке, а не от разности скоростей частицы и потока. В силу последнего обстоятельства можно полагать, что это воздействие поля давлений на частицу должно учитываться и при относительном движении частицы, в особенности в тех случаях, когда это воздействие поля давлений не отражено в воздействиях сил (6.2) и (6.4).

Таким образом, векторное уравнение движения посторонней частицы в потоке жидкости будет представляться в виде

Рассмотрим случай ламинарного течения между параллельными стенками с прямолинейным распределением скоростей по сечению, для которого

В этом случае давление в основном потоке постоянно, т. е. Проектируя уравнение (6.6) на оси координат и используя равенства (6.1), (6.2), (6.4) и (6.7), получим:

Если частица будет иметь плотность, одинаковую с плотностью жидкости, т. е. то одно из возможных движений такой взвешенной частицы будет представляться равенствами

Для исследования устойчивости возможного движения (6.9) частицы введём новые переменные

Тогда из (6.2) получим уравнения возмущённого движения частицы

Характеристическое уравнение системы (6.11) будет иметь вид

Так как при выполнении соотношения

один из корней уравнения (6.12) может стать положительным, то возможное движение (6.9) взвешенной частицы может стать неустойчивым. Если ввести число Рейнольдса основного потока

и предполагать частицу в виде шара, т. е. использовать (6.3), то из соотношения (6.13) получим следующее неравенство для числа Рейнольдса:

При выполнении неравенства (6.15) движение взвешенной шаровой частицы в потоке (6.7) будет заведомо неустойчивым.

Рассмотрим ламинарное течение между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению, при котором

В этом случае основные уравнения движения взвешенной частицы будут представляться в виде

Решения этой системы уравнений, отвечающие невозмущённому движению взвешенной частицы, будут иметь вид

Составляя дифференциальные уравнения возмущённого движения частицы и ограничиваясь в них слагаемыми с неизвестными величинами в первой степени, получим характеристическое уравнение

Один из корней уравнений (6.19) будет положительным, если будет иметь место неравенство

Вводя число Рейнольдса

и предполагая частицу сферической, получим следующее неравенство для числа Рейнольдса:

При выполнении неравенства (6.22) движение шаровой взвешенной частицы в ламинарном потоке (6.16) будет заведомо неустойчивым.

Чтобы сделать заключения об условиях устойчивости движения взвешенной частицы, необходимо по методу А. М. Ляпунова провести дополнительные исследования в отношении нулевого корня уравнения (6.19) с учётом нелинейных слагаемых в уравнениях возмущённого движения частицы. При проведении этих исследований можно убедиться в том, что для обеспечения устойчивости движения шаровой частицы в ламинарном потоке можно знаки неравенств (6.15) и (6.22) изменить на обратные. Таким образом, движение взвешенной шаровой частицы в потоке (6.16) будет устойчивым, если для числа

Рейнольдса будет выполняться следующее неравенство:

Рассмотренные примеры показывают, что движение взвешенной частицы в ламинарном потоке может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от значения числа Рейнольдса потока. Следовательно, по исследованию устойчивости движения одной взвешенной частицы можно в какой-то мере судить об устойчивости всего потока в целом, как это и делалось в некоторых опытах. На основании неравенства (6.23) предельное значение числа Рейнольдса основного потока, при превышении которого должна наступить неустойчивость движения взвешенной частицы в потоке, будет пред» определяться: 1) квадратом отношения характерного размера основного потока к характерному размеру частиц, 2) отношением характерного размера потока к расстоянию частицы от стенки в момент её ввода в поток и 3) внешней формой поверхности взвешенной частицы, влияние которой должно отражаться значениями коэффициентов сопротивления и подъёмной силы Из этой формулы, в частности, следует, что для частиц большего размера неустойчивость наступает раньше, чем для частиц с меньшими размерами; для частиц, вводимых в поток ближе к стенке, неустойчивость наступает раньше, чем для частиц, вводимых ближе к средней линии