§ 5. Уравнение изменения внутренней энергии

Преобразуем полученное уравнение (4.12) переноса полной энергии. Так как

то уравнение (4.12) можно представить с виде

Первая фигурная скобка в силу уравнения (3.1), вторая — на основании уравнения (1.8) обращаются в нуль. В результате получим уравнение

Так как выражение в скобке в левой части (5.1) представляет собой индивидуальную производную от внутренней энергии фиксированной частицы, то полученное уравнение есть уравнение изменения внутренней энергии фиксированной частицы с постоянной массой.

В декартовых координатах уравнение (5.1) изменения внутренней энергии представится в виде

Раскрывая скалярные произведения трёх первых слагаемых в правой части (5.2), получим:

Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы I и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь:

С помощью соотношений (11.1), (11.16) главы I, представляющих обобщённую гипотезу Ньютона для вязкой жидкости, равенство (5.3) можно записать:

Таким образом, уравнение (5.2) изменения внутренней анергии фиксированной частицы вязкой жидкости представится в виде

Уравнение (5.5) можно рассматривать как уравнение притока внутренней энергии за единицу времени в фиксированной частице вязкой жидкости. Источниками изменения внутренней энергии частицы вязкой жидкости, таким образом, будут: 1) теплота, поступающая благодаря процессу теплопроводности, 2) работа сил давлений, связанная с изменением плотности частиц, и 3) некоторая часть работы вязких напряжений.

Для случая так называемого совершенного (идеального) газа внутренняя энергия единицы массы равна

Принимая теплоемкость постоянной и подставляя значение в в уравнение (5.5), получим следующее уравнение притока тепла для совершенного вязкого газа: