§ 7. Вращение круглого цилиндра в неограниченной жидкости

Пусть вязкая несжимаемая жидкость простирается до бесконечности. Внутри этой жидкости находится круглый цилиндр радиуса а, который с момента начинает вращаться вокруг своей геометрической оси с постоянной угловой скоростью (рис. 87). Если предполагать, что частицы жидкости перемещаются строго по концентрическим окружностям и на бесконечности они находятся в состоянии покоя, то данная задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения

при следующих граничных и начальных условиях: при

Рис. 87.

Умножая уравнение (7.1) и первые два условия (7.2) на проводя интегрирование и обозначая

для изображения искомой скорости получим:

Чтобы удовлетворить условию обращения изображения в нуль на бесконечности, необходимо из двух частных решений уравнения (7.4), представляемых в виде функций Бесселя первого порядка от мнимого

аргумента, использовать лишь то, которое будет содержать функцию Макдональда, т. е.

Определяя постоянное В из первого граничного условия (7.4), будем иметь для изображения:

а для оригинала:

Функция Макдональда

не имеет корней в правой половине всей плоскости комплексного переменного z, где

Если на плоскости комплексного переменного мы возьмём совокупность всех точек, для которых

то этой совокупности точек на плоскости комплексного переменного, равного

будет отвечать вся плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной оси от до Следовательно, подинтегральная функция (7.6) на плоскости комплексного переменного не имеет никаких других особенностей, кроме точки ветвления в начале координат. Вводя в рассмотрение на плоскости комплексного переменного замкнутый контур ABCDEFA, показанный на рис. 80, и

проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в § 2, получим:

Для малых значений аргумента функция имеет порядок - , поэтому

Функция связана с функцией Ханкеля и обычными функциями Бесселя следующей зависимостью:

Поэтому будем иметь:

Подставляя (7.8) и (7.9) в (7.7), получим выражение для скорости кругового движения частиц жидкости в виде

Вычисляя силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по формуле (6.4), получим:

Для вронскиана функции Бесселя мы имеем:

Умножая силу вязкости (7.11) на длину окружности и её радуис, получим следующее выражение для момента сил вязкости:

Чтобы вращение цилиндра в неограниченной жидкости происходило с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить к цилиндру переменный момент, равный правой части (7.12). С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания вращения с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться до своего предельного значения, отвечающего установившемуся круговому движению частиц неограниченной вязкой несжимаемой жидкости.