§ 2. Теорема о рассеянии энергии

В § 5 главы II было установлено дифференциальное уравнение изменения внутренней энергии фиксированной частицы с постоянной массой, имеющее вид

где s представляет собой внутреннюю энергию единицы массы, температуру. Группа первых трёх слагаемых в правой части представляет собой ту часть работы напряжений, которая идёт на приращение внутренней энергии единицы массы. Эта часть работы напряжений, приходящаяся на единицу объёма и единицу времени, для случая несжимаемой жидкости называется энергией рассеяния. Чтобы оправдать это название, подсчитаем полную работу всех сил, действующих на массу жидкости в конечном объёме, и выясним, какая часть этой работы идёт на изменение кинетической энергии рассматриваемой массы, а какая часть переходит в тепловую энергию, т. е. рассеивается.

Элементарная работа массовых сил, действующих на массу в объёме х, на элементарном перемещении будет представляться в виде

    (2.2)

Элементарная работа напряжений, распределённых по всей поверхности S, ограничивающей объём х, будет равна

Так как вектор напряжения на площадке с нормалью представляется в виде

то после подстановки в (2.3) и применения формулы Гаусса—Остроградского преобразования поверхностного интеграла в объёмный получим:

Выражение в квадратной скобке представляет собой полную элементарную работу напряжений, распределённых по поверхности элементарного объёма (см. (4.8) гл. II).

Векторное дифференциальное уравнение движения фиксированной частицы представляется в виде

Умножая скалярно левую и правую части (2.5) на и интегрируя по всему объему х, получим:

Так как рассматривается фиксированная постоянная масса, т. е.

и

то знак дифференциала в левой части можно вынести за знаки интегралов. Заменяя слагаемые в правой части (2.6) через (2.2) и (2.4), получим:

Левая часть полученного равенства (2.7) представляет собой элементарное приращение кинетической энергии конечной массы жидкости в объеме х. В теоретической механике доказывается, что элементарное приращение кинетической энергии произвольной изменяемой механической системы равно сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, т. е.

где Т представляет собой кинетическую энергию механической системы, — элементарную работу всех внешних сил и — элементарную работу всех внутренних сил. В рассматриваемом нами случае элементарная работа всех внешних сил по отношению к массе, заключенной в объёме х, будет представляться первыми двумя слагаемыми в правой части (2.7), т. е.

А тогда элементарная работа всех внутренних сил деформируемой среды будет представляться последним слагаемым в правой части

Из полученного равенства (2.7) следует, что на элементарное изменение кинетической энергии движения фиксированной массы расходуется вся элементарная работа внешних массовых сил и лишь часть элементарной работы внешних поверхностных сил, т. е. сил напряжений. Другая же часть элементарной работы внешних поверхностных сил не расходуется на изменение кинетической энергии, и поэтому можно полагать, что она расходуется на изменение формы, объёма и температуры элементарных частиц, т. е. идёт на изменение внутренней энергии, что и подтверждается уравнением (2.1). Для случая несжимаемой жидкости внутренняя энергия может состоять лишь из одной тепловой энергии, поэтому та часть элементарной работы сил напряжений, которая не будет расходоваться на изменение кинетической энергии, будет расходоваться на изменение тепловой энергии, т. е. будет рассеиваться.

Обозначим энергию рассеивания, приходящуюся на единицу объёма и на единицу времени, через Е, т. е.

Раскрывая скалярные произведения в левой части (2.10) и подставляя значения напряжений по обобщённой гипотезе Ньютона для несжимаемой жидкости, получим:

Выражение в правой части (2.11) всегда положительно, за исключением случая, когда все производные от скоростей по координатам обращаются в нуль. Следовательно, движение вязкой несжимаемой жидкости будет происходить без рассеяния механической энергии лишь в том случае, когда не будет происходить деформаций частиц, т. е. когда жидкость будет перемещаться как твёрдое тело. Во всех других случаях движения вязкой несжимаемой жидкости будет происходить потеря механической энергии.

Вычитая из правой и левой части (2.11) соответственно выражение

и вводя компоненты вихря, получим:

Умножая левую и правую части (2.12) на элемент объёма и проводя интегрирование по всему объёму, получим количество механической энергии, рассеиваемой за единицу времени в конечном объёме х.

Если границы объёма x будут представлять собой неподвижные твёрдые стенки, на которых в силу условия прилипания проекции вектора скорости будут обращаться в нуль, то после интегрирования по частям будем иметь:

и аналогично с другими слагаемыми в правой части (2.13). Следовательно, при движении несжимаемой жидкости, заключённой в неподвижном объёме, полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет зависеть только от интенсивности вихрей внутри объёма и будет представляться в виде

Пусть оси х, у, z будут совпадать с главными осями деформаций в рассматриваемой точке, тогда энергия рассеяния (2.11) будет представляться через главные скорости деформаций в виде

Умножая левую и правую части на и вычитая из левой и правой част соответственно выражение

получим:

Выражение в квадратной скобке в правой части (2.16) представляет собой с точностью до множителя не что иное, как квадратичный инвариант девиатора скоростей деформаций, рассмотренного нами в § 7 главы I, который в свою очередь пропорционален скорости деформации результирующего сдвига частицы ((7.12) гл. 1). Таким образом, скорость рассеяния механической энергии для несжимаемой жидкости пропорциональна квадратичному инварианту девиатора скоростей деформаций или пропорциональна квадрату ркорости деформации результирующего сдвига частицы, т. е.