§ 4. Интегральные формулы для результирующего воздействия жидкости на поступательно движущееся в ней тело

Рассмотрим случай поступательного движения тела в вязкой жидкости (рис. 23). Напряжение на площадке поверхности рассматриваемого тела представляется в виде

где суть направляющие косинусы внешней нормали к площадке Следовательно, главный вектор и главный момент сил воздействия окружающей жидкости на рассматриваемое тело представятся в виде

Рис. 23.

Проекция вектора напряжения на ось х на основании (4.1) будет представлена в виде

Подставляя в правую часть (4.4) значения из равенств (6.1) главы II, получим:

Второе слагаемое в правой части (4.5) есть производная по нормали от скорости и:

а так как

то последнее слагаемое в скобках в правой части (4.5) можно представить в биде

Перейдём теперь к новым осям координат (рис. 23), состоящим из нормали в рассматриваемой точке поверхности тела и из двух

касательных Производная от скорости v по координате будет равна

Аналогично запишутся и другие производные, входящие в правую часть (4.7).

Так как тело перемещается поступательно и в качестве граничного условия принимается условие прилипания, то вдоль всей поверхности тела компоненты скорости частиц жидкости будут постоянными величинами. Следовательно, производные от скоростей частиц по направлениям касательных к поверхности тела будут обращаться в нуль, т. е.

Выражения

- направляющие косинусы нормали.

Используя (4.8) и (4.9), будем иметь:

Таким образом, на основании (4.6) и (4.10) напряжение на поверхности поступательно движущегося тела в вязкой жидкости будет представляться в виде

По аналогии с (4.11) для других проекций вектора напряжения будем иметь:

Умножая левые и правые части (4.11) и (4.12) на единичные векторы осей координат соответственно и складывая, получим вектор напряжения на площадке поверхности поступательно движущегося тела

Подставляя значение из (4.13) в правые части (4.2) и (4.3), по лучим выражения для главного вектора и главного момента сил воздействия на тело, поступательно движущееся в вязкой жидкости:

Для случая несжимаемой жидкости и

Первое слагаемое представляет собой результирующее воздействие жидкости на тело, обусловленное давлением, а второе — результирующее воздействие на тело сил вязкости.

Для плоско-параллельного течения и для осесимметричного уравнение несжимаемости (1.8) главы II в криволинейных координатах будет представляться одинаково:

Допустим, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости помещено неподвижное тело с поверхностью S и криволинейные координаты выбраны таким образом, что эта поверхность входит в семейство координатных поверхностей

Граничное условие прилипания в этом случае представится в виде

Так как условия (4.18) выполняются при постоянном значении координаты то их можно частным образом дифференцировать по второй координате т. е.

Используя (4.18) и (4.19), из уравнения несжимаемости (4.17) получим:

Обозначая через единичные векторы касательных к координатным линиям в рассматриваемой точке на поверхности S и учитывая, что линейный элемент нормали к этой поверхности будет равен

можно написать:

Используя (4.18) и (4.20), будем иметь:

Главный вектор воздействия вязкой несжимаемой жидкости на неподвижное тело из (4.16) будет равен

Компонента вектора вихря в криволинейных координатах на основании (8.8) главы I представляется в виде

Учитывая равенства (4.18) и (4.19), будем иметь:

Подставляя значение из (4.24) в (4.22), получим:

Таким образом, при плоско-параллельном и при осесимметричном обтеканиях неподвижного тела воздействие вязкой несжимаемой жидкости на это тело зависит от распределения по его поверхности давления и вихря.