§ 9. Движение вязкой жидкости в коническом диффузоре
Рассмотрим движение вязкой жидкости в коническом диффузоре в предположениях: 1) жидкость считается несжимаемой, 2) движение предполагается установившимся и осесимметричным, 3) действием массовых сил и квадратичными членами инерции можно пренебречь и 4) движение частиц является строго радиальным, т. е.
При этих предположениях функция тока будет удовлетворять дифференциальному уравнению Стокса
и, кроме того, не будет зависеть от переменного R. Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса и независимость функции тока от R, получим:
Введём новое независимое переменное, полагая
Тогда из (9.2) и (9.3) получим:
Таким образом, дифференциальние уравнение (9.2) будет представляться в виде
или
Легко видеть, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) с правой частью представляется в виде
Проверкой можно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) без правой части будет иметь вид
Для построения второго частного решения однородного уравнения положим:
Тогда будем иметь:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (9.5) представится в виде
Рис. 50.
Обозначим угол раствора конического диффузора 60 (рис. 50), а полный расход через сечение — 
Граничные условия, выражающие прилипание частиц жидкости к стенкам и заданную величину расхода, можно представить в виде:
Производная от функции тока 
по переменному 
благодаря наличию слагаемого с 
будет при 
обращаться в бесконечность. Поэтому для обеспечения регулярности радиальной скорости внутри конуса необходимо положить:
Используя граничные условия (9.7), получим следующие уравнения для определения постоянных:
откуда
Таким образом, радиальная скорость движения частиц вязкой жидкости в конусе будет представляться в виде
Оператор Стокса от функции тока будет равен
Первое дифференциальное уравнение (7.3) после использования подстановки (9.4) примет вид
Подставляя значение 
и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для давления:
Будем считать угол 
небольшим и воспользуемся разложением косинуса
Тогда можно приближённо положить:
Таким образом, при малых углах раствора конического диффузора радиальная скорость и перепад давления будут представляться приближённо в виде
Полагая, наконец,
получим:
Сопоставляя эти формулы с формулами (5.6) и (5.9) главы III для движения жидкости в цилиндрической трубе, мы видим, что правая часть первой формулы (9.11) для скорости в точности совпадает с правой частью соответственной формулы для скорости движения в цилиндрической трубе. Коэффициент правой части выражения (9.11) для перепада давления представляет собой выражение перепада давления в цилиндрической трубе. Следовательно, множитель в скобке выражения (9.11) есть первая поправка в перепаде давления на конусность трубы.
Выражение (9.6) для функции тока может быть использовано также и для решения задачи о движении вязкой жидкости между двумя соосными конусами.
