§ 2. Общие уравнения для возмущённого движения

Прежде чем переходить к исследованию устойчивости отдельных ламинарных течений, установим общие уравнения для возмущённого движения вязкой несжимаемой жидкости и некоторые интегральные соотношения для этого движения.

Если действием массовых сил пренебрегать, то дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости будут представляться в виде

Частные решения системы уравнений (2.1), отвечающие определённому основному течению жидкости, обозначим через

Для этих частных решений (2.2) дифференциальные уравнения (2.1) удовлетворяются либо точно, либо приближённо. Следовательно, можно написать:

Составим разность соответственных уравнений (2.1) и (2.3) и введём обозначения

    (2.4)

Если величины u, v, w и будем рассматривать как проекции вектора скорости и давление результирующего возмущённого движения жидкости, то будут представлять собой проекции вектора скорости и давление дополнительного движения жидкости, которое в дальнейшем будем именовать полем возмущений. Для изучения изменений характеристик поля возмущений получим из (2.1) и

(2.3) следующие дифференциальные уравнения:

В этих уравнениях представляют собой известные функции координат и времени для основного течения, V — модуль вектора скорости поля возмущений, а проекции вектора вихря поля возмущений, т. е.

Если считать проекции вектора скорости поля возмущений малыми и пренебрегать квадратичными членами инерции этого поля, то получим следующие дифференциальные уравнения:

Умножая первые три уравнения соответственно на единичные векторы осей координат и складывая, получим приближённое дифференциальное уравнение поля возмущений в векторной форме

Если основное течение считать прямолинейно-параллельным, т. е.

то дифференциальные уравнения (2.6) поля возмущений будут представляться в виде

Для случая плоско-параллельного поля возмущений будем иметь:

Исключая из первых двух уравнений (2.8) давление, получим следующее приближённое уравнение для функции тока поля возмущений:

Хотя дифференциальное уравнение (2.9) установлено для случая плоского прямолинейно-параллельного основного течения, всё же его можно с некоторой степенью приближения использовать и в случае, когда основное течение и не будет в точности прямолинейно-параллельным и вектор скорости течения будет иметь две проекции, но тогда одна проекция должна быть малой по сравнению с другой, а основная проекция должна мало изменяться вдоль течения. Иначе говоря, уравнение (2.9) можно использовать и для плоского пограничного слоя.

Чтобы получить приближённые дифференциальные уравнения поля возмущений в цилиндрических координатах, проще всего поступить

следующим образом. Взять уравнения (6.6) и (6.7) главы II без учёта массовых сил, подставить в них

учесть уравнения для проекций вектора скорости основного течения и пренебречь произведениями производных от проекций вектора скорости поля возмущений. В результате получим следующие дифференциальные уравнения поля возмущений:

Для случая прямолинейно-параллельного основного течения в круглой цилиндрической трубе будем иметь:

и поэтому дифференциальные уравнения поля возмущений будут представляться в виде

Если полагать поле возмущений осесимметричным, т. е.

то на основании последнего уравнения (2.11) можно ввести функцию тока

Первые два уравнения (2.11) представятся тогда в виде

где D — оператор Стокса:

Исключая из уравнений (2.13) давление, получим следующее дифференциальное уравнение для функции тока симметричного поля возмущений, наложенного на прямолинейно-параллельное течение в круглой цилиндрической трубе:

Для случая основного кругового течения вязкой несжимаемой жидкости в уравнениях (2.10) необходимо положить:

При этих предположениях дифференциальные уравнения поля возмущений представятся в виде

Если в рассматриваемом случае дополнительно предположить, что проекции вектора скорости поля возмущений и давление не будут зависеть от полярного угла

то из (2.15) получим следующие дифференциальные уравнения симметричного поля возмущений, наложенного на основное круговое движение вязкой несжимаемой жидкости:

где

Приближённые дифференциальные уравнения (2.9), (2.14) и (2.16) соответственных полей возмущений использовались отдельными авторами для исследования устойчивости основных ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости.

Теперь перейдём к установлению некоторых энергетических соотношений для поля возмущений.

Обратимся к полным уравнениям поля возмущений (2.5). Умножая первые три уравнения на и, v и w соответственно и складывая,

получим:

Используя уравнение несжимаемости и выражения компонент вектора вихря, будем иметь:

Первые четыре слагаемых в левой части (2.17) в своей совокупности представляют собой индивидуальную производную по времени от кинетической энергии единицы массы в поле возмущений при условии, что переход частиц из одного положения в другое происходит со скоростью основного движения. Для этой производной введём отдельное обозначение

Для всех последующих слагаемых левой части (2.17) также введём отдельное обозначение

Используя обозначения (2.18) и (2.19) и предшествующие формулы преобразования, получим из (2.17) следующее энергетическое соотношение для единицы объёма частиц жидкости в поле возмущений:

Для случая плоского поля возмущений будем иметь:

и, следовательно, энергетическое соотношение (2.20) будет представляться в виде

при этом из (2.19) получим:

Если же основное течение будет плоским прямолинейно-параллельным, т. е.

то выражение для М примет вид

Допустим, что можно выбрать такой конечный прямоугольник с площадью S, на границах которого проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль, а на других границах распределение скоростей, давлений и вихрей будет одинаковым. При этих условиях при интегрировании по члощади рассматриваемого прямоугольника будем иметь:

    (2.24)

Полученное интегральное соотношение (2.24) представляет собой энергетическое соотношение для частиц жидкости внутри указанного прямоугольника в поле возмущений. Это соотношение показывает, что возрастание кинетической энергии поля возмущений может происходить только тогда, когда величина М будет заведомо положительной и при этом такой, чтобы значение первого интеграла в правой части (2.24) превосходило значение второго интеграла. Для случая плоского прямолинейного течения, для которого

величина М из (2.23) может быть положительной, если проекции вектора скорости поля возмущений будут иметь разные знаки, т. е.

В указанных в предшествующем параграфе статьях, в которых исследование устойчивости ламинарных течений проводилось с помощью энергетического метода, в качестве допущения принималось, что возрастание со временем кинетической энергии поля возмущений может служить вполне достаточным признаком возникновения неустойчивости исследуемого ламинарного течения. Если принять это допущение, то дальнейшая задача исследования устойчивости прямолинейно-параллельного течения между параллельными стенками будет сводиться к подбору соответственного поля возмущений, удовлетворяющего неравенству (2.25), при котором правая часть равенства (2.24) обращалась бы в нуль и при этом число Рейнольдса исследуемого ламинарного течения принимало бы наименьшее значение. Приравнивая правую часть (2.24) к нулю и подставляя значение М из (2.23) и значение угловой скорости вихря, получим:

Если теперь перейти в равенстве (2.26) к безразмерным величинам, полагая

то для числа Рейнольдса получим следующее равенство:

Таким образом, задача определения минимального значения числа Рейнольдса будет сводиться к определению минимума отношения (2.27) двух двойных интегралов.