§ 7. Качение цилиндра по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества

Допустим, что круглый цилиндр длины l, радиуса R и веса q совершает чистое качение по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества с коэффициентом вязкости [а (рис. 58). Выясним зависимость необходимой силы тяги Q от указанных параметров цилиндра, а также от толщины слоя Н, коэффициента вязкости [а и угловой скорости в),

Применим к той части слоя ABCD, которая в рассматриваемый момент t будет находиться непосредственно под цилиндром, приближённые уравнения (2.16)

Рейнольдса

Рис. 58.

Толщину слоя в начале координат, расположенном на одной вертикали с мгновенным центром качения К, обозначим через а толщину на расстоянии х от начала — через h. Эта толщина слоя как функция х будет представляться в виде

Обозначим абсциссы крайних точек слоя А к В через — а и b. Тогда обычные граничные условия прилипания и постоянства давления на краях слоя представятся в виде

Решая первое уравнение (7.1) и используя граничные условия (7.3) для а, получим:

Подставляя значение и из (7.4) в уравнение неразрывности (7.1) и учитывая граничные условия (7.3) для v, найдём:

Выражение в скобках в правой части (7.5) может обратиться в нуль при двух значениях х. Следовательно, в рассматриваемом нами слое давление может иметь два экстремальных значения, из которых одно будет минимальным, а второе — максимальным. А так как на краях слоя давление равно нулю, то наличие минимума давления в слое будет означать наличие отрицательных давлений внутри слоя. Избежать отрицательных давлений внутри слоя можно, если ввести дополнительное граничное условие, позволяющее точку минимума

давлений отнести на левый край слоя. Это дополнительное граничное условие будет иметь вид:

удовлетворяя условию (7.6) и проводя интегрирование (7.5), получим следующее выражение для давления:

Проекции вектора результирующего давления слоя на цилиндр и абсцисса точки его приложения будут определяться формулами

касательная составляющая вектора напряжения на площадке, напревляющие косинусы нормали которой , будет представляться виде

рассматриваемом нами случае имеем:

следовательно, сила вязкости на поверхности цилиндра будет представляться в виде

так как

то, подставляя это выражение и значение и из (7.4) в (7.9) и пренебрегая выражениями, содержащими множители и т. д., получим для результирующей силы от касательных напряжений следующее приближённое выражение:

Для момента сил трения относительно оси цилиндра приближённо будем иметь:

Полученные формулы (7.8), (7.10) и (7.11) содержат три заранее неизвестных параметра: а, b и Для их определения воспользуемся: а) вторым условием (7.3) для давления, б) условием равновесия силы веса цилиндра с результирующей силой от давления слоя и в) предположением о том, что слой в его левой точке наименее всего деформирован и поэтому толщину слоя здесь можно приравнять начальной толщине И всего слоя на плоскости. Эти три условия могут быть представлены следующими равенствами:

Исходя из уравнения равновесия сил в проекциях на ось х, получим неравенство для необходимой силы тяги

Будем предполагать отношение — настолько малым, что в выражениях, входящих под знак интегралов, можно будет положить;

При таком предположении давление из (7.7) будет представляться формулой

Первое из условий (7.12) приводит к уравнению

единственным положительным корнем которого будет;

Подставляя значения из (7.14) и b из (7.15) в (7.8) и (7.10), получим:

Входящая в выражения (7.16) неизвестная величина а должна определяться из второго условия (7.12), т. е. из уравнения

Если в неравенстве (7.13) мы отбросим результирующую силу трения и подставим значение из (7.16) и значение а из (7.17), то получим:

В последнем неравенстве коэффициент при может рассматриваться как коэффициент трения качения. Величина этого коэффициента, как это видно из (7.18), убывает с уменьшением толщины слоя Н и веса единицы длины катка и с увеличением и , причём зависимость от последних трёх параметров значительно слабее, чем от толщины слоя Н. В частности, при (абсолютно твёрдый слой) коэффициент трения качения будет равен нулю.

Аналогично будет решаться задача и в том случае, когда цилиндр будет совершать не чистое качение, а чистое скольжение по вязкому слою. В этом случае надо лишь изменить вторые граничные условия (7.3) на верхней границе рассматриваемого слоя.

Рассмотренная задача характерна тем, что в ней используется дополнительное граничное условие для давления и продольная протяжённость слоя считается неизвестной.