§ 5. Приближённый метод решения уравнений пограничного слоя

В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчёты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. Для больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден. Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближённые методы решения уравнений для пограничного слоя. Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем дифференциальные уравнения с частными производными (1.13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами. В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа, уравнений и составляются соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не одной какой-либо задачи).

Чтобы показать конкретно сущность этих методов, рассмотрим подробно метод сведения уравнений (1.13) к одному обыкновенному уранению для случая степенного закона изменения скорости внешнего потока, развитый в работах Фокнера и Скэна, 2) Хартри 3), Л. Г. Лойцянского и др.

Пусть на внешней границе ламинарного пограничного слоя скорость частиц во внешнем потоке распределяется в продольном направлении

по закону

где с — размерный коэффициент, связанный с размерностью длины и скорости соотношением

Уравнения пограничного слоя (1.13) при использовании (3.12) и (5.1) представятся в виде

От размерных координат перейдём к безразмерным, полагая

Если в выражении числа Рейнольдса

заменить скорость через коэффициент (5.2), то получим:

Полагая

и используя (5.6), уравнения (5.3) можно представить в виде

Решения уравнений (5.8), вообще говоря, должны быть функциями безразмерных координат Поэтому при переходе к размерным координатам размерные решения уравнений (5.3) будут зависеть от масштаба длины l. Так как коэффициенты уравнений (5.3) не

содержат в явном виде масштаба длины то можно потребовать, чтобы безразмерные скорости и зависели не от отдельных безразмерных координат а от такой их комбинации, при которой исключалась бы зависимость размерных скоростей от масштаба длины Если обратиться к мерному равенству (5.4) и ко второму равенству (5.6), то можно заметить, что единственной комбинацией, не содержащей масштаба длины при переходе к размерным координатам будет;

На этом основании кишим новое независимое безразмерное переменное полагая

где Я — некоторое постоянное число. Из (5.9) будем иметь:

Теперь примем, что продольная составляющая вектора скорости в пограничном слое может быть представлена в виде

где штрих в правой части означает дифференцирование по , На основании условия прилипания и того, что нижняя граница слоя представляет собой линию тока, будем иметь следующие условия для неизвестной функции

Используя соотношения (5.10) и (5.11) будем иметь

Из уравнения несжимаемости, условия обращения в нуль скорости на оценке и первого равенства (5.10) получим:

Подставляя значение из (5.13) и используя условия (5.12), будем иметь:

На основании (5.13) и (5.14) получим:

Следовательно, первое уравнение (5.3) представится в виде

Наконец, используя предположение (5.1) и полагая

получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции Ф:

Для решения уравнения (5.16) к условиям (5.12) необходимо присоединить условие на внешней границе слоя. Если считать слой асимптотическим, то дополнительное условие будет представляться в виде

При каждом отдельном значении постоянного (3 уравнение (5.16) можно интегрировать численным методом. В цитированной выше работе Хартри приведена таблица 2 значений функции Ф при различных значениях параметра (3 и таблица 3 вспомогательных функций, через которые вычисляются толщина вытеснения 8, толщина потери импульса 8 и напряжение вязкости на стенке. Мы приводим некоторые выдержки из этих таблиц (см. стр. 276—277).

На основании второго равенства (5.13) получим следующее выражение для напряжения вязкости на стенке:

Толщина слоя вытеснения была определена выше формулой (2.20). Подставляя в эту формулу значение у из (5.9), получим:

Значения Таблица 2

(см. скан)

Условная толщина потери импульса, являющаяся мерой изменения количества движения за счёт образования пограничного слоя, определяется равенством

Подставляя значение у из (5.9), получим:

Значения функций, входящих в равенства (5.18), (5.19) и (5.20), берут из таблицы 3.

Таблица 3

Заметим, что случай отвечает прямолинейно-параллельному внешнему потоку с постоянной скоростью с, обтекающему продольнопрямолинейную пластинку. Для положительных значений показателя в (5.1) мы будем получать так называемые ускоренные потоки, которые имеют место в конфузорных (сходящихся) каналах, а для отрицательных значений будем иметь Замедленные потоки в диффузорных каналах. Наконец, случай мы получаем для пограничного слоя в передней критической точке при обтекании внешним потоком выпуклого контура. В этом последнем случае , и поэтому из (5.19) и (5.20) будет следовать, что обе толщины не

будут зависеть от координаты х, т. е. толщина пограничного слоя вблизи критической точки будет постоянной. Из этих же формул при учёте (5.1) будет следовать, что при толщина пограничного слоя будет расти по течению, как и в случае пограничного слоя на пластинке. Наибольший рост толщины пограничного слоя по течению будет иметь место в замедленных потоках при тогда как при ускоренном течении при толщина пограничного слоя будет даже убывать по течению.

На основании таблицы 1 получается, что при т. е. при при убывании скорости внешнего потока по закону

величина обращается в нуль, и поэтому согласно (5.18) сила трения будет обращаться в нуль на всей стенке соответствующего канала. Этот случай можно рассматривать как предельный случай того безотрывного движения в пограничном слое, который может быть изучен этим методом, так как при пограничный слой либо вообще не может существовать, либо развитый выше метод становится неприменимым.

Таким образом, задавая различные значения для показателя , можно получить различные по своему характеру течения в пограничном слое и эти течения будут сходны с теми течениями, которые имеют место в отдельных частях действительного пограничного слоя, например на крыле: вблизи критической точки вблизи точки наименьшего давления и вблизи точки отрыва