§ 12. Различные виды сред

В предшествующем параграфе напряжения были поставлены в зависимость только от скоростей деформации частиц, причём эта зависимость была принята в простейшей своей форме, т. е. в виде линейного соотношения (11.20) между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций и линейного соотношения (11.19) между самими девиаторами напряжений и скоростей деформации. Будем жидкость называть вязкой, если для неё будут приняты соотношения (11.19) и (11.20).

Полагая оба коэффициента вязкости равными нулю:

получим жидкость, в которой напряжённое состояние в каждой точке характеризуется одним лишь давлением, не зависящим явно от скоростей деформации частиц. Такая жидкость называется идеальной.

Понятия идеальной и вязкой жидкости отражают лишь приближённо объективно существующие свойства реальных жидкостей и газов. Лишь некоторые из них могут с достаточной степенью точности изучаться либо с помощью гипотезы идеальной жидкости, либо с помощью гипотезы вязкой жидкости. Но в некоторых случаях не только гипотеза идеальной жидкости, но и гипотеза вязкой жидкости может оказаться недостаточной. Так, например, для масляных

красок, для различных суспензий, для смазочных масел при низких температурах гипотеза о вязкости в форме соотношения (11.19) оказалась недостаточной, и потребовалось её изменение в сторону прибавления дополнительного слагаемого, представляющего собой так называемое предельное напряжение сдвига.

Всё сказанное выше даёт основание к тому, чтобы, помимо гипотез об идеальности или вязкости жидкости, рассмотреть и некоторые другие гипотезы, устанавливающие иные связи между состоянием напряжений и состоянием деформаций в каждой точке.

Сопоставляя соотношения (11.1) и (11.16), мы видим, что нормальные и касательные напряжения находятся не в одинаковом отношении к соответственным скоростям деформаций. В то время как касательные напряжения обращаются в нуль вместе со скоростями деформаций сдвига, нормальные напряжения не обращаются в нуль при обращении в нуль соответственных скоростей деформаций удлинений. Следовательно, можно ставить вэйрос о том, чтобы уравнять отношения напряжений к скоростям деформаций. Это можно сделать, если положить в соотношениях (11.16) или (11.4) давление равным нулю. Тогда получим следующие соотношения, связывающие напряжения со скоростями деформаций:

При таком предположении среднее нормальное напряжение строго пропорционально скорости объёмной деформации, т. е.

Соотношения (12.1) и (12.2) по своему формальному виду совпадают с соотношениями для упругой среды, подчиняющейся обобщённому закону Гука, с той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом случае входят скорости деформаций. На этом основании гипотетическую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисто вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещё Коши в 1828 г., а затем в 1877 г. Бочером 1). В качестве примера такой чисто вязкой среды Бочер привёл канадский бальзам.

Другая возможность уравнять отношения напряжений и скоростей деформаций будет заключаться в том, чтобы и касательное напряжение связать со скоростью деформации сдвига также неоднородным соотношением. Например, соотношения (11.22) и (11.23) мы можем заменить новыми, имеющими вид

где слагаемое 0 следует именовать предельным напряжением сдвига. Среду, для которой принимаются соотношения (12.3), можно называть пластически-вязкой средой. Впервые такую пластически-вязкую среду ввёл в рассмотрение Бочер, а затем и Бингам. В своих исследованиях Бингам показал, что примерами пластически-вязкой среды могут служить масляные краски и некоторые виды суспензий. М. П. Воларович рассматривал смазочные масла при низких температурах также как пластически-вязкие среды. Им же разработаны и некоторые приборы для определения величины предельного напряжения сдвига. Второе соотношение (12.3) с заменой через максимальные компоненты было использовано А. А. Ильюшиным в созданной им теории пластически-вязких деформаций некоторых металлов.

До сих пор состояние деформаций характеризовалось одним только тензором скоростей деформаций. Если для характеристики состояния деформаций в каждой точке среды привлечь, помимо тензора скоростей деформаций, ещё и тензор самих деформаций, то можно получить и другие соотношения, отвечающие другим видам сред с различными механическими свойствами. Скорость деформации представляет собой величину деформации, образованную за единицу времени. Следовательно, чтобы получить величину деформации, образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой деформации умножить на дифференциал времени и проинтегрировать, например, от нуля до произвольного момента времени t. Таким образом, величины объёмной деформации и девиатора самих деформаций могут быть представлены в виде

Примем, что первый инвариант тензора напряжений линейно зависит от первых инвариантов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е.

Кроме того, положим, что и девиатор напряжений также линейно представляется через девиаторы деформаций и скоростей деформаций, т. е.

где — постоянный девиатор. Соотношения (12.6) и (12.7) обобщают соотношения (11.3) и (11.19) в сторону учёта дополнительных слагаемых в правых частях, пропорциональных самим деформациям. Поэтому они в себе будут содержать уже как частные случаи, и те соотношения, которые имеют место для вязкой среды, для упругой среды и упруго-пластической среды. Эти соотношения включают в себя также и случай среды с последействием.

В самом деле, положим в последнем соотношении (12.7) постоянный девиатор равным нулю. Применяя это соотношение к одной из компонент сдвига, будем иметь:

    (12.8)

Полагая напряжение равным нулю, и G не зависящими от времени, после дифференцирования будем иметь:

После интегрирования этого уравнения получим:

Скорость деформации сдвига будет убывать после обращения в нуль соответственного напряжения по закону показательной функции, а как раз этим свойством и характеризуется среда с простейшим видом последействия.

Идея учёта вязкости для твёрдых упругих тел была впервые выдвинута Кельвином в 1878 г., но формальные соотношения вида (12.8) были введены в рассмотрение позднее Фогтом в 1892 г.

В соотношении (12.6) первый инвариант тензора скоростей деформации входит один раз явно и второй раз под знаком интеграла, тогда как первый инвариант тензора напряжений входит только явно. Аналогичное положение имеет место и в соотношении (12.7) по отношению к девиаторам. Следовательно, соотношения (12.6) и (12.7) можно и далее обобщить, полагая, что напряжения будут в новых соотношениях представлены так же, как и скорости деформаций. В таком случае получим:

Соотношения (12.10), содержащие 10 коэффициентов, будут представлять среду, в которой состояния напряжений и деформаций будут находиться в достаточно сложной зависимости друг от друга.

Частный случай среды с релаксацией напряжений, введённый Максвеллом в 1868 г., мы получим, если положим:

В самом деле, применяя второе соотношение (12.10) к компоненте напряжения сдвига, получим:

    (12.11)

Положим, что коэффициенты не зависят от времени, тогда после дифференцирования (12.11) получим:

    (12.12)

Соотношение (12.12) как раз и представляет собой то соотношение, которое было принято Максвеллом. Полагая скорость деформации сдвига равной нулю и проводя интегрирование, получим:

т. е. напряжение после обращения скорости деформации в нуль будет убывать по закону показательной функции. Отношение называется периодом релаксации напряжения.