§ 9. Движение жидкости между искривлёнными стенками

Рассмотрим теперь случай, в котором частицы жидкости в своём движении описывают не полные окружности, а лишь некоторые их части.

Рис. 34.

Один из примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рассмотрен Н. Е. Жуковским в работе, посвящённой гидродинамической теории трения. В этой работе рассматривается вращающийся цилиндр, охваченный лишь частично подшипником, имеющим вырез наполненный маслом (рис. 34) Предполагалось, что траектории частиц в слое представляют собой дуги концентрических окружностей. Мы же рассмотрим другой случай такого вида движений жидкости.

Предположим, что течение вязкой и несжимаемой жидкости происходит между двумя неподвижными стенками, представляющими собой в сечении две дуги окружностей с радиусами b и а и общим центром (рис. 35).

Рис. 35.

Предполагая, что частицы жидкости перемещаются строго по дугам концентрических окружностей, для скорости будем иметь формулу (7.9). На основании этой формулы для расхода Q через сечение рассматриваемого криволинейного канала получим следующее выражение: а

Из условия прилипания имеем: (9.1)

откуда

При подстановке значений (9.3) формула (9.1) для расхода примет следующий вид:

Входящее в это выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6) перепад давления, приходящийся на один радиан угла Для случая прямолинейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и параллельными стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии h, из (3.8) можно получить следующую формулу для расхода:

Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение формулы (9.5) на случай искривлённых по дугам окружностей стенок. Правую часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить;

а затем провести разложение по степеням h отношения -у, сохранив члены не выше третьей степени.

Рис. 36.

Давление, определяемое по формуле (7.10), будет зависеть и от переменного г. Но если предполагать скорость сравнительно малой, а радиус внутренней дуги b сравнительно большим, то слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, можно будет пренебречь и считать приближённо давление неизменным по толщине слоя.

Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения в канале, границы которого составлены частично из прямолинейных стенок, а частично из дуговых стенок. Например, канал, представленный на рис. 36, состоит из прямолинейного участка АВ, дугового участка BD и прямолинейного горизонтального участка DC. Давления у входа А и выхода из канала С считаются известными. Тогда, используя (9.4) и (9.5), получим следующие формулы для разностей давлений в точках перехода от прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе:

Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную формулу, для расхода в рассматриваемом нами случае составного канала

Полученная формула для расхода является приближённой, так как при написании (9.6) не учитывалось изменение давления на криволинейном участке по радиусу.