§ 9. Движение жидкости между искривлёнными стенками
Рассмотрим теперь случай, в котором частицы жидкости в своём движении описывают не полные окружности, а лишь некоторые их части.
Рис. 34.
Один из примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рассмотрен Н. Е. Жуковским в работе, посвящённой гидродинамической теории трения. В этой работе рассматривается вращающийся цилиндр, охваченный лишь частично подшипником, имеющим вырез
наполненный маслом (рис. 34) Предполагалось, что траектории частиц в слое
представляют собой дуги концентрических окружностей. Мы же рассмотрим другой случай такого вида движений жидкости.
Предположим, что течение вязкой и несжимаемой жидкости происходит между двумя неподвижными стенками, представляющими собой в сечении две дуги окружностей с радиусами b и а и общим центром (рис. 35).
Рис. 35.
Предполагая, что частицы жидкости перемещаются строго по дугам концентрических окружностей, для скорости будем иметь формулу (7.9). На основании этой формулы для расхода Q через сечение рассматриваемого криволинейного канала получим следующее выражение: а
Из условия прилипания имеем: (9.1)
откуда
При подстановке значений (9.3) формула (9.1) для расхода примет следующий вид:
Входящее в это выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6) перепад давления, приходящийся на один радиан угла
Для случая прямолинейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и параллельными стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии h, из (3.8) можно получить следующую формулу для расхода:
Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение формулы (9.5) на случай искривлённых по дугам окружностей стенок. Правую часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить;
а затем провести разложение по степеням h отношения -у, сохранив члены не выше третьей степени.
Рис. 36.
Давление, определяемое по формуле (7.10), будет зависеть и от переменного г. Но если предполагать скорость сравнительно малой, а радиус внутренней дуги b сравнительно большим, то слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, можно будет пренебречь и считать приближённо давление неизменным по толщине слоя.
Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения в канале, границы которого составлены частично из прямолинейных стенок, а частично из дуговых стенок. Например, канал, представленный на рис. 36, состоит из прямолинейного участка АВ, дугового участка BD и прямолинейного горизонтального участка DC. Давления у входа А и выхода из канала С считаются известными. Тогда, используя (9.4) и (9.5), получим следующие формулы для разностей давлений в точках перехода от прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе:
Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную формулу, для расхода в рассматриваемом нами случае составного канала
Полученная формула для расхода является приближённой, так как при написании (9.6) не учитывалось изменение давления на криволинейном участке по радиусу.