§ 5. Слой смазки между наклонными пластинками

Пусть плоскость перемещается в направлении оси х со скоростью U. На некотором расстоянии от этой плоскости поместим пластинку ограниченной длины, наклонённую под углом а к плоскости (рис. 54). Предполагаем, что область между плоскостью и пластинкой во всё время движения плоскости заполнена, вмазочным. маслом.

Рис. 54.

Ось у проведём через левый край пластинки. Обозначая толщину слоя у левого края пластинки через у правого — через а расстояние по оси х между этими краями через а, будем иметь для толщины слоя А следующее уравнение:

    (5.1)

Будем считать, что в направлении оси z пластинка простирается в обе стороны до бесконечности, т. е. будем полагать все, характеристики движения частиц жидкости не зависящими от переменного граничные условия в рассматриваемой задаче будут иметь вид:

Полагая в равенствах (3.6)

получим для скоростей частиц жидкости следующие выражения:

В дифференциальном уравнении (3.9) для давления мы должны положить:

Тогда

После интегрирования получим:

Так как на краях интервала переменного х давление принимает одно и то же значение, то в промежутке производная от давления должна обращаться в нуль. Обозначим толщину слоя, отвечающую экстремальному значению давления, через А, т. е.

    (5.6)

Тогда из (5.5) будем иметь:

От независимого переменного х в этом уравнении перейдём к переменному А. Из (5.1) имеем:

Следовательно, уравнение для давления примет вид

Проводя интегрирование, получим:

Для определения постоянных А и используем граничные условия (5.2) для давления, которые теперь принимают вид

При этих условиях

Так как

то

Следовательно, сечение экстремального давления располагается ближе к сечению наименьшей толщины слоя.

Для силы вязкости на движущейся плоскости из (5.3) будем иметь:

Подставляя в это выражение значение получим:

Подсчитаем теперь результирующее давление Р и результирующую силу вязкости на ту часть движущейся плоскости, которая находится непосредственно под пластинкой. Для этого левые и правые части (5.10) и (5.12) умножим на

и проинтегрируем от до . В результате получим:

Обозначая

и учитывая значение из (5.1), получим следующие формулы для результирующего давления и результирующей силы трения:

Отношение модуля результирующей силы трения к модулю результирующего давления будет равно

Если предполагать, что наименьшая толщина слоя будет весьма малой величиной в сравнении с продольной протяжённостью а, слоя, то на основании (5.15) можно заключить, что результирующее давление намного будет превосходить результирующую силу трения от смазки. Таким образом, основной эффект смазки при переменной толщине слоя заключается в образовании поддерживающей силы, которая по порядку своей величины больше результирующей силы трения.

Безразмерный коэффициент в выражении (5.13) для поддерживающей силы зависит от отношения наибольшей толщины слоя к наименьшей. Этот коэффициент обращается в нуль при , следовательно, внутри этого интервала коэффициент поддерживающей силы будет иметь экстремальное значение. Беря производную от этого коэффициента и приравнивая ее нулю, получим трансцендентное уравнение

Приблизительное значение действительного и положительного следующего после единицы корня этого уравнения равно

При этом значении коэффициента k формулы (5.13), (5.14) и (5.15) представятся в виде

Для определения точки приложения вектора результирующего давления подсчитаем момент сил давлений относительно начала координат. Умножая левую и правую части (5.10) на

и проводя интегрирование, получим:

Следовательно, для координаты х центра давления будем иметь следующую формулу:

При подстановке значения получим:

Таким образом, точка приложения экстремального результирующего давления располагается вблизи середины рассматриваемого слоя несколько ближе к его узкой части.

На основании (5.3) распределение основной компоненты скорости и по отдельным сечениям слоя будет примерно представляться так, как показано на рис. 55.

Рис. 55

Отсюда заключаем, что благодаря наклону верхней пластинки примыкающая к ней смазка в точках, расположенных слева от сечения с экстремальным давлением, отжимается в сторону, обратную движению нижней плоскости. Это обстоятельство будет уменьшать до некоторой степени возможность разрыва смазочного слоя, возможность оголения движущейся плоскости от смазки. Таким образом, второй основной эффект смазки при переменной толщине слоя заключается в создании предпосылок к непрерывности смазки движущейся поверхности.

Заметим, если движение плоскости будет происходить не в сторону узкой части слоя, а в сторону его широкой части, то во всех формулах, содержащих множитель U, необходимо его знак изменить на обратный. В результате такого движения будет развиваться не поддерживающая сила, стремящаяся удалить пластины от плоскости, а обратная сила, стремящаяся пластинку прижать к плоскости.

Полученные выше результаты могут быть использованы для качественного объяснения основного эффекта смазки при вращении шипа в подшипнике. Пусть нагрузка на горизонтальный вал, вращающийся в подшипниках, направлена по вертикали. До вращения вала его шип будет касаться поверхности вкладыша подшипника

в нижней точке (рис. 56, а). Посмотрим, что будет происходить в первые моменты вращения шипа. Область между поверхностями шипа и подшипника разделим на две равные части I к II. В первой части движение поверхности шипа будет происходить в сторону широкой части слоя, поэтому результирующее давление на шип будет направлено от шипа к подшипнику. Во второй части, наоборот, результирующая сил давления будет направлена от подшипника к шипу (рис. 56, б).

Рис. 56.

Так как обе эти силы не уравновешиваются нагрузкой, то шип под действием их будет смещаться вправо. Это смещение будет происходить до тех пор, пока направление результирующего давления на шип не будет противоположным направлению вектора внешней нагрузки. Такое уравновешивание внешней нагрузки результирующим давлением может произойти тогда, когда линия наименьшего зазора между поверхностями шипа и подшипника станет приблизительно горизонтальной (рис. 56, в). Таким образом, при установившемся движении шипа в подшипнике линия наименьшего зазора между ними смещается в сторону вращения шипа и располагается приблизительно перпендикулярно к направлению вектора внешней нагрузки на шип.