ГЛАВА VIII. ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

§ 1. Дифференциальные уравнения движения жидкости в пограничном слое

В предшествующих трёх главах были рассмотрены три приближённых метода изучения движения жидкости с учётом вязкости. Следующую ступень развития приближённых методов изучения движения вязкой жидкости составляет теория пограничного слоя.

На то обстоятельство, что прилипание жидкости может оказать существенное влияние на характер течения и его закономерности, указано ещё в гидродинамике Д. Бернулли. В работах Навье, Пуассона и Стокса также имеются указания на то, что в связи с учётом вязкости жидкости должны измениться граничные условия вблизи стенок. Но эти указания всё ещё не давали основания к утверждению того, что вязкость жидкости проявляется главным образом только вблизи твёрдых стенок. Идея о преобладающем влиянии вязкости жидкости только вблизи стенок была высказана позднее, а именно в работе Д. И. Менделеева, а затем в лекциях Н. Е. Жуковского. Своё оформление в виде уравнений эта идея получила в работе Прандтля.

Рассмотренные в предшествующих трёх главах методы относились к движениям жидкости при сравнительно малых числах Рейнольдса, методы же теории пограничного слоя относятся к противоположным случаям, т. е. к случаям движения жидкости при весьма больших значениях чисел Рейнольдса. Если в методах Стокса и Рейнольдса квадратичные члены инерции совершенно не учитывались, а в методе Озеена эти члены учитывались лишь частично, то в теории пограничного слоя Прандтля квадратичные члены инерции

полностью учитываются в основном уравнении. В приближённых методах Стокса и Озеена члены от вязкости учитывались полностью, тогда как в теории Прандтля эти члены учитываются лишь частично, так же как и в методе Рейнольдса для слоя смазки.

Теория пограничного слоя получила широкое практическое применение и поэтому её развитие было весьма интенсивным. Эта теория и до настоящего времени продолжает привлекать внимание многих исследователей.

Для вывода основных уравнений теории пограничного слоя рассмотрим лишь плоско-параллельное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости без учёта действия массовых сил. Будем полагать радиус кривизны рассматриваемой твёрдой стенки (рис. 67) достаточно большим по сравнению со средним значением 8 толщины предполагаемого пограничного слоя. Обозначим через х криволинейную координату, отсчитываемую вдоль рассматриваемой стенки от некоторой фиксированной на ней точки О, и через у — координату, отсчитываемую по нормали к стенке.

Рис. 67.

Дифференциальные уравнения (2.13) главы II переноса количества движения в проекциях на введённые оси координат и уравнение несжимаемости представятся в виде

Соотношения, выражающие обобщённую гипотезу Ньютона в рассматриваемом нами случае, будут иметь вид

Обозначим через I характеристику протяжённости слоя, через U — характерную скорость частиц в продольном направлении слоя и через V — характерную скорость в поперечном направлении. Вводим безразмерные величины, полагая

Уравнение несжимаемости тогда представится в виде

Если считать, что слагаемые в уравнении (1.4) будут иметь один и тот же порядок величин, то необходимо положить:

Это равенство означает, что порядок отношения скоростей должен совпадать с порядком отношения среднего значения толщины слоя к характерной длине l, т. е.

Вводим безразмерное число Рейнольдса

и безразмерное давление

Соотношения (1.2) при использовании (1.3), (1.5), (1.6) и (1.7) примут вид

Подставляя (1.8), (1.3) в (1.1), будем иметь:

При выводе уравнений Рейнольдса для смазочного слоя мы полагали число Рейнольдса обратно пропорциональным первой степени безразмерного параметра s. Так как мы рассматриваем теперь случай весьма больших значений чисел Рейнольдса, то примем, что это число обратно пропорционально квадрату параметра , т. е.

Сохраняя в уравнениях (1.8) и (1.9) только члены наивысшего порядка, получим:

Таким образом, при весьма больших значениях чисел Рейнольдса компоненты нормального напряжения в пределах пограничного слоя сводятся к одному давлению, а компонента касательного напряжения имеет порядок по отношению к скоростному напору и определяется только одним слагаемым, представляющим собой первую производную продольной скорости по поперечной координате у. Из второго уравнения (1.12) заключаем, что в пределах пограничного слоя давление по толщине слоя не изменяется.

Переходя в уравнениях (1.4) и (1.12) к размерным величинам, получим следующие уравнения плоско-параллельного установившегося движения вязкой жидкости в пограничном слое без учёта действия массовых сил:

Так как давление по толщине слоя не меняется, то внутри слоя давление должно быть таким же, каким оно было на границе этого слоя с областью внешнего потока жидкости без учёта её вязкости. А это значит, что в пределах пограничного слоя давление должно считаться известной функцией криволинейной координаты х. Эта функция для давления устанавливается на основании решения задачи об обтекании рассматриваемого контура идеальной жидкостью. Таким образом, дифференциальные уравнения (1.13) для пограничного слоя будут содержать только две неизвестные функции — компоненты и и v скорости частиц жидкости в слое. Если рассматриваемый контур является неподвижным и непроницаемым, то для неизвестных функций должны удовлетворяться условия прилипания:

К граничным условиям (1.14) необходимо присоединить граничные условия на границе предполагаемого пограничного слоя, толщина

которого может считаться либо бесконечно большой (асимптотический пограничный слой), либо конечной. В последнем случае толщина слоя должна считаться неизвестной функцией криволинейной координаты х, для определения которой должны быть использованы условия на границе слоя. Эти граничные условия в первую очередь должны отразить непрерывность основной компоненты скорости и и непрерывность силы вязкости при переходе из слоя в область внешнего потока. Если через U обозначить компоненту скорости частиц во внешнем потоке, параллельную касательной в соответственной точке рассматриваемого контура, то простейшие граничные условия на границе пограничного слоя будут:

Таким образом, задача изучения движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое сводится математически к решению дифференциальных уравнений (1.13) при граничных условиях (1.14) и (1.15). Наличие нелинейных слагаемых в первом уравнении (1.13) и наличие граничных условий на неизвестной границе создают большие трудности на пути изучения движения жидкости в пределах пограничного слоя. Но все же эти трудности оказалось возможным преодолеть во многих случаях с помощью различных приближённых методов.

Из экспериментов известно, что при обтекании выпуклых тел происходят отрыв внешнего потока от поверхности тела и образование завихрённой зоны позади тела. Благодаря наличию завихрённой зоны меняется распределение скоростей во внешнем потоке. Следовательно, уравнения пограничного слоя (1.13) могут быть использованы не для всего обтекаемого контура, а только для той его части, которая обтекается внешним потоком плавно, без срыва отдельных частей потока, без образования завихрённой зоны. Пограничный слой, подчиняющийся уравнениям (1.13), будет заканчиваться в той точке плоского контура, с которой будет происходить отрыв внешнего потока от контура.

Явление отрыва внешнего потока от поверхности выпуклого контура качественно можно объяснить с помощью следующих рассуждений. При обтекании выпуклого контура потоком несжимаемой жидкости скорость частин на поверхности контуря лпеле передней критической точки будет няпастать, а давление будет уменьшаться. После достижения максимума скорость будет уменьшаться, а давление будет увеличиваться, следовательно, после этой точки максимума скорости частицы жидкости внутри пограничного слоя будут тормозиться не только за счёт действия сил вязкости, но и за счёт действия противодавления. Вследствие этого у частиц, расположенных близко от поверхности тела, скорость может обращаться в нуль задолго до того, как они подойдут к задней критической точке

Эти частицы, подвергаясь действию противодавления, должны начать двигаться в обратном направлении. В результате этого обратного течения вблизи поверхности тела будет происходить подмыв пограничного слоя. Если на первых участках слоя профиль распределения скоростей в слое будет обращён своей выпуклостью в сторону течения (рис. 68), то на последних участках верхняя часть будет по прежнему выпуклой в сторону течения, а нижняя часть будет выпуклой в обратную сторону. При таком распределении скоростей в слое в каком-то месте может произойти отрыв слоя от стенки. При этом оторвавшаяся часть пограничного слоя в верхней части приобретёт вращение по ходу часовой стрелки, а в нижней части — против хода часовой стрелки. Оторвавшиеся завихрённые части пограничного слоя будут внешним потоком сноситься в сторону течения. Такая картина отрыва пограничного слоя будет повторяться периодически. Опыт показывает, что отрыв пограничного слоя с верхней и нижней частей границы происходит не одновременно. В результате этого сзади тела завихрения располагаются не друг под другом, а в шахматном порядке.

Рис. 68.

Из сказанного следует, что отрыв внешнего потока от контура может начаться не раньше той точки, после которой изменяется направление выпуклости профиля распределения скоростей вблизи контура. Но изменение направления выпуклости связано с изменением наклона касательной к кривой профиля скоростей, т. е. с изменением знака первой производной от рассматриваемой скорости по нормали. До тех пор пока в точках вблизи контура профиль распределения скоростей будет выпуклым, первая производная будет положительной. Как только изменится направление выпуклости профиля распределения скоростей вблизи контура, знак этой производной станет отрицательным. Таким обрцом, мы и приходим к следующему условию отрыва пограничного слоя от стенки. Отрыв пограничного слоя может происходить только после той точки, в которой первая производная от основной скорости по координате у обращается в нуль:

формальное условие (1.16) отрыва до некоторой степени можно объяснить и с механической точки зрения. Из механики известно, что в том месте, в котором материальная точка покидает связь, реакция связи обращается в нуль. Аналогично обстоит дело и здесь, только роль своеобразной реакции связи играет сила вязкости, которая в месте отрыва слоя от стенки обращается в нуль.