§ 4. Понятие вязкости жидкости

Различие жидкости от твёрдого деформируемого тела находит своё отражение также и в характере внутренних взаимодействий между частицами. В жидкости, как и в твёрдом деформируемом теле, взаимодействие частиц характеризуется напряжениями, т. е. силами, отнесёнными к единице площади соприкасания частиц:

где — вектор напряжения на площадке с нормалью n.

При равновесии твёрдого тела вектор напряжения имеет две составляющие: нормальную, направленную по нормали к площадке, и касательную, расположенную в плоскости самой площадки. При равновесии же жидкости в некотором сосуде вектор напряжения имеет лишь одну нормальную составляющую и притом направленную всегда внутрь рассматриваемых частиц. Иначе говоря, взаимодействие частиц жидкости при равновесии характеризуется одним лишь давлением. Но при движении жидкости вектор напряжения наряду с нормальной составляющей, т. е. с давлением, будет иметь и касательную составляющую, представляющую собой силу внутреннего трения или силу вязкости. Таким образом, при движении жидкости взаимодействие её частиц характеризуется не только давлением, но и внутренним трением.

Рис. 1.

Заключение о существовании касательной силы взаимодействия частиц жидкости при её движении можно сделать на основании следующего простого примера.

Допустим, что некоторая жидкость занимает объём между двумя параллельными стенками (рис. 1). Пусть нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя перемещается параллельно неподвижной с постоянной скоростью U. Если до начала движения стенки жидкость находилась в состоянии покоя, то по прошествии некоторого промежутка времени частицы жидкости придут в состояние движения. При этом

частицы, расположенные ближе к движущейся стенке, будут иметь скорость, несколько большую; чем частицы, расположенные ближе к неподвижной стенке.

На основании рассмотренного примера и наблюдений во многих других аналогичных случаях можно сделать следующие заключения:

1) Движущаяся стенка увлекает в своём движении прилегающие к ней частицы жидкости, что может свидетельствовать о наличии касательного взаимодействия между частицами жидкости и стенкой. Такое взаимодействие называется внешним трением жидкости.

2) Движение передаётся от одних частиц жидкости к другим в направлении, перпендикулярном к скорости движения, что может свидетельствовать о том, что между частицами самой жидкости также возникает касательное взаимодействие в плоскости их соприкосновения, которое как раз и следует именовать внутренним трением жидкости.

Рассмотрим другой пример. Пусть в каком-либо сосуде находится густая жидкость вроде патоки. Будем в эту жидкость погружать тонкую пластинку в виде бритвенного ножа тонкой стороной вперёд. При таком погружении мы будем ощущать сопротивление, обусловленное наличием внешнего трения между частицами покоящейся жидкости и прилегающими точками движущегося ножа. Погружённую пластинку будем теперь вынимать. Тогда мы заметим, что вместе с пластинкой будут перемещаться и прилипшие к ней частицы жидкости, увлекающие за собой и соседние частицы. Следовательно, то сопротивление, которое мы будем ощущать при вынимании пластинки, следует объяснять в большей мере наличием внутреннего трения между частицами жидкости. В рассматриваемом случае пластинка «вязнет» в жидкости. На этом основании явление внутреннего трения именуется часто явлением вязкости.

Впервые на наличие внутреннего трения между частицами жидкости было указано Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии». В этой книге Ньютон высказал гипотезу, согласно которой сила внутреннего трения между частицами жидкости пропорциональна относительной скорости этих частиц. Позднее эта гипотеза была представлена в виде формулы, обнаруживающей в явном виде не только прямую зависимость силы внутреннего трения, отнесённой к единице площади, от относительной скорости частиц но и обратную зависимость от расстояния между частицами:

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется коэффициентом вязкости жидкости. Так как сила имеет размерность напряжения а производная по нормали от скорости имеет

размерность то размерность коэффициента вязкости в технических единицах будет:

Помимо коэффициента вязкости часто вводят в рассмотрение ещё и кинематический коэффициент вязкости, представляющий собой отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости, т. е.

то размерность кинематического коэффициента вязкости будет

Для воздуха при 15° С мы имеем, например, , а для воды

Из того, что сказано выше, следует, что внутреннее трение жидкости неразрывно связано с её движением. Без движения жидкости нельзя обнаружить проявление вязкости или внутреннего трения. В этом отношении внутреннее трение существенно отличается от трения между твёрдыми телами, которое может иметь место и при покое. Различие жидкого трения от сухого заключается также и в следующем. Сила внутреннего трения жидкости находится в количественной зависимости прежде всего от относительной скорости движения частиц, тогда как предельная сила сухого трения находится в количественной зависимости прежде всего от давления между телами. Полная сила внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения частиц, а предельная сила сухого трения не зависит от величины площади соприкасания тел.

Рис. 2.

В механике величина силы воздействия на материальную точку находится в прямой зависимости от изменения скорости движения точки во времени. Аналогично обстоит дело и с силой внутреннего трения, которая находится также в прямой зависимости от изменения скорости движения, но не во времени, а в направлении, перпендикулярном к скорости движения рассматриваемой частицы. Следовательно, на силу вязкости, представляемую равенством (4.1), можно смотреть как на меру передачи движения частиц жидкости в направлении, перпендикулярном к скорости движения частиц.

В рассмотренном выше примере прямолинейного движения жидкости деформация частицы происходит следующим образом. Первоначальное сечение частицы в виде квадрата (рис. 2) через промежуток

времени становится ромбом; это значит, что частица испытывает деформацию простого сдвига. Беря разность смещений в точках А и и деля её на расстояние получим величину деформации простого сдвига частицы за промежуток времени т. е.

Если мы поделим эту величину деформации сдвига на промежуток времени её образования, то получим скорость деформации сдвига. С другой стороны, сила трения, отнесённая к единице площади, может рассматриваться как касательное напряжение. Следовательно, гипотеза Ньютона, представляемая равенством (4.1), может быть сформулирована следующим образом: касательное напряжение в жидкости пропорционально скорости деформации сдвига.

Такая формулировка гипотезы Ньютона позволяет сделать обобщение этой гипотезы и на общий случай движения жидкости. В общем случае вектор напряжения на произвольной площадке может иметь, помимо касательной составляющей, ещё и нормальную составляющую, а частица будет испытывать, помимо деформации сдвига, ещё и другие деформации. Следовательно, каждую из составляющих напряжения мы можем ставить в прямую зависимость от соответственной составляющей скорости деформации частицы. Такого рода обобщение гипотезы Ньютона и было сделано Коши, Сен-Венаном и Стоксом.

В объяснение самого механизма явления вязкости Ньютон, Коши, Сен-Венан и Стокс не входили. Только с развитием кинетической теории газов было дано физическое истолкование явлению вязкости.

Отдельные молекулы газа суть носители различных качеств, к которым относятся род материи, тепловая энергия и количество движения. Благодаря молекулярному движению эти отдельные качества переносятся и передаются в какой-то мере от одних молекул к другим, от одного слоя к другому слою. Перенос самой материи проявляется в явлении диффузии, перенос энергии — в явлении тепло-проводности и, наконец, перенос количества макроскопического движения проявляется в явлении вязкости. Таким образом, для газов все эти три явления являются родственными между собой, все они представляют собой процессы выравнивания распределенияч рода материи, тепловой энергии и количества движения. Родственность этих трёх явлений находит своё отражение также и в том, что коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости пропорциональны друг другу, и в том, что значения всех этих коэффициентов для газа в определённом интервале температур увеличиваются с повышением температуры. Но между этими тремя явлениями есть и различие. При диффузии и теплопроводности переносятся скалярные величины, к каковым относятся химические качества и энергия, а в явлении вязкости переносится векторная величина количества движения. Перенос скалярной величины, например тепловой энергии

в явлении теплопроводности представляется вектором потока тепла, тогда как перенос вектора количества движения в явлении вязкости будет представляться тензором плотности потока количества движения. Таким образом, явление вязкости в некотором отношении будет сложнее явлений диффузии и теплопроводности.

На основании рассмотрения простейшего случая переноса количества движения молекулами из одного слоя в другой в кинетической теории газов установлена следующая формула для коэффициента вязкости:

где — плотность, V — среднее значение скорости движения молекул, установленное на основании закона Максвелла о распределении скоростей, и А — длина свободного пробега молекул.

На основании дальнейших разработок кинетической теории было высказано положение, согласно которому коэффициент вязкости для газов пропорционален квадратному корню из абсолютной температуры данного газа. Однако это положение не подтвердилось на опыте. В действительности оказалось, что коэффициент с температурой Т связан следующей зависимостью:

где показатель изменяется от 0,7 для водорода до 1,0 для менее совершенных газов. Для воздуха достаточно хорошо подтверждается опытами при изменении температуры от 0 до 100° следующая зависимость коэффициента вязкости от температуры:

где Т — абсолютная температура и

Переходя к рассмотрению механизма явления вязкости у капельных жидкостей, следует заметить, что в отношении этого механизма ещё нет вполне установившихся и экспериментально проверенных взглядов. Тот факт, что коэффициент вязкости капельной жидкости с увеличением температуры не увеличивается, как у газов (см. формулу (4.4)), а уменьшается, вынуждает нас полагать, что механизм явления вязкости у капельных жидкостей должен существенно отличаться от механизма явления вязкости у газов, и поэтому в капельной жидкости при обычных температурах не может происходить передачи количеств движения с помощью непосредственного перехода молекул из одного слоя в другой, как это имеет место в газах.

На основании обработки экспериментальных результатов о зависимости вязкости жидкостей от температуры А. И. Бачинский предложил

свою формулу, выражающую зависимость коэффициента вязкости от удельного объёма:

где v — удельный объём, а С и — постоянные, на основании этой формулы легко качественно объяснить уменьшение вязкости жидкостей с увеличением температуры. Так как вязкость жидкостей определяется взаимодействием молекул, то она должна зависеть от удельного объёма жидкости. Чем выше температура, т. е. чем больше будет удельный объём, тем больше будет расстояние между молекулами жидкости, тем меньше будет сила сцепления, следовательно, тем меньше будет вязкость. В теории вязкости жидкости, разработанной в последнее время Г. М. Панченковым 1), принимается, что передача количества движения происходит за счёт временного объединения молекул на границе слоёв, причём эта передача движения будет происходить лишь тогда, когда энергии движения будет достаточно у молекул для преодоления силы притяжения между ними и когда молекулы будут определённым образом ориентированы друг относительно друга. Исходя из этих положений, Г. М. Панченков установил формулу зависимости коэффициента вязкости жидкости от температуры, давления и энергии связи молекул жидкости. Расчёты по этой формуле для ряда жидкостей дали удовлетворительные совпадения с результатами экспериментов. При дополнительных предположениях из формулы Г. М. Панченкова получается приведённая выше формула А. И. Бачинского.