§ 6. Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости

В § 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I.

В декартовых координатах соотношения (11.18) главы I, представляющие обобщённую гипотезу Ньютона, имеют вид

Будем считать жидкость несжимаемой, т. е.

Кроме того, положим коэффициент вязкости , постоянным:

    (6.3)

Подставляя при этих предположениях выражения (6.1) в правые части уравнений (3.3), получим следующие дифференциальные уравнения движения вязкой и несжимаемой жидкости, представленные через составляющие вектора скорости в декартовых координатах:

где — дифференциальный оператор Лапласа, кинематический коэффициент вязкости.

Пользуясь выражениями (8.9) главы I для скоростей деформаций, можно представить обобщённую гипотезу Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических координатах следующими соотношениями:

Подставляя (6.5) в правые части уравнений (3.7) и используя уравнение несжимаемости (6.2), представленное в виде

получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости в цилиндрических координатах

где оператор Лапласа А имеет вид

Обобщённая гипотеза Ньютона в сферических координатах при использовании равенств (8.11) главы I представляется в виде

Подставляя выражения (6.9) в правые части уравнений (3.11) и используя уравнение несжимаемости

получим дифференциальные уравнения движения несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости в сферических координатах

где

Аналогичным путём можно получить дифференциальные уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости с переменными коэффициентами вязкости.

Что касается других сред, рассмотренных в § 12 главы I, то дифференциальные уравнения движения таких сред можно выразить через составляющие вектора скорости лишь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряжённое состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены относительно всех компонент напряжений. Во всех других случаях необходимо соотношения связи напряжений с деформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения среды в напряжениях.