ГЛАВА IV. СЛУЧАИ ТОЧНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой ЖИДКОСТИ

§ 1. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении жидкости

В конце главы II было указано, что наиболее простым способом решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости является способ, в основе которого лежит заранее принимаемое пред положение о форме траекторий всех частиц жидкости. В данной главе, следуя этому способу, рассмотрим отдельные примеры установившихся движений вязкой и несжимаемой жидкости.

Если жидкость считать несжимаемой

и движение предполагать установившимся

то дифференциальные уравнения (8.1) Главы II будут представляться в виде

Рассмотрим случай, в котором траектории всех частиц будут строго прямолинейными и параллельными между собой, т. е.

При этом предположении из уравнения несжимаемости будем иметь:

Таким образом, единственная проекция вектора скорости и вдоль всей траектории будет оставаться постоянной и может изменяться только в поперечном к траекториям направлении.

При использовании (1.2) и (1.3) дифференциальные уравнения (1.1) ещё более упростятся:

Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря предположениям (1.2) и следствию из них (1.3) квадратичные члены инерции совершенно выпали из полных уравнений (1.2).

Представим давление в виде суммы двух слагаемых, из которых одно будет представлять статическое давление, обусловленное действием массовых сил, а второе — динамическое давление, непосредственно связанное с движением жидкости, т. е.

Статическое давление определяется из уравнений равновесия

Подставляя (1.5) в уравнения (1.4) и используя уравнения (1.6) и выражение для кинематического коэффициента вязкости

получим следующие уравнения:

На основании последних двух уравнений (1,7) заключаем, что динамическое давление не будет зависеть от у и z. Так как правая часть первого уравнения (1.7) зависит от у и z, а левая часть может зависеть только от х, то левая и правая части этого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т. е.

Таким образом, для прямолинейно-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен.

Задача об изучении прямолинейно-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона

правая часть которого представляет собой постоянную величину. Если движение частиц жидкости считается прямолинейно-параллельным, то границы жидкости должны быть строго цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны траекториям частиц. Так как скорость и частиц не зависит от координаты х, то достаточно рассмотреть лишь одно сечение границ течения в плоскости . В простейших случаях границы течения в плоскости могут состоять либо из одного контура, либо из двух контуров, из которых один будет находиться внутри второго (рис. 24). В первом случае область будет односвязной, а во втором — двусвязной.

Рис. 24.

Чтобы удовлетворять условиям прямолинейности траекторий частиц и стационарности движения, границы течения должны 1) либо быть неподвижными, 2) либо перемещаться параллельно самим себе с постоянной скоростью. Принимая в качестве граничного условия условие прилипания, будем иметь в первом случае на неподвижной границе

а во втором случае на подвижной границе

Таким образом, задача изучения прямолинейно-параллельных установившихся течений вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Пуассона при граничных условиях (1.9) и (1.10),

Так как правая часть уравнения (1.8) является постоянной, то его можно свести к уравнению Лапласа следующей заменой:

При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейно-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости будет сводиться К решению уравнения Лапласа для функции

при граничных условиях: на неподвижной стенке

на подвижной стенке