§ 2. Развитие ламинарного движения в круглой цилиндрической трубе

Пусть круглая цилиндрическая труба радиуса а простирается до бесконечности только в одну сторону — в сторону положительного направления оси х (рис. 91). Начало оси х выберем в центре начального сечения трубы.

Для определения движения жидкости на начальном участке трубы применим систему приближённых уравнений, аналогичных уравнениям (1.1):

Множитель U и здесь представляет собой среднюю скорость по сечению трубы. Условия прилипания жидкости к стенкам и условие постоянства расхода через каждое сечение трубы будет представляться равенствами при

    (2.3)

Рис. 91.

Будем предполагать, что основная скорость и по начальному сечению распределена равномерно, т. е.

Таким образом, задача определения движения вязкой жидкости на начальном участке круглой трубы сводится к решению системы уравнений при граничных условиях (2.2), (2.3) и (2.4).

Первое и третье уравнения (2.1) умножим на и проинтегрируем по переменному в пределах от 0 до а и от 0 до . Учитывая при этом второе равенство (2.1), получим:

Равенство (2.6) может служить для определения значения поперечной скорости после того как будет определена основная скорость и. В силу условия (2.3) поперечная скорость на стенке действительно будет обращаться в нуль. Из равенства (2.5) при учёте (2.3) получим следующее выражение для перепада давления:

Подставляя (2.7) в первое уравнение (2.1) и обозначая

получим дифференциальное уравнение для основной скорости

Уравнение (2.9) при граничных условиях (2.2) и (2.4) будем решать также методом преобразования Лапласа. Полагая

и подвергая преобразованию Лапласа уравнение (2.9) и граничное условие (2.2), получим следующую задачу для изображения:

Общее решение уравнения (2.11) через функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента будет представляться в виде

Так как функция при обращается в бесконечность, а скорость на оси трубы должна быть конечной, то постоянное В необходимо приравнять нулю. Из будем иметь:

Используя равенство (2.13) и граничное «условие (2.11), «получим следующее выражение для постоянного А:

Подставляя (2.14) в (2.12), получим:

Если использовать рекуррентные формулы

то для изображения основной скорости частиц вязкой жидкости найдём:

Обращая преобразование Лапласа, получим следующую интегральную формулу для основной скорости:

Пользуясь известным разложением

и уменьшая параметр преобразования до нуля, получим из (2.15):

Таким образом, на бесконечном удалении от входа в трубу будет устанавливаться параболический профиль распределения скоростей по сечению, т. е.

Раскладывая подинтегральное выражение (2.16) на простые дроби, получим:

где — корни уравнения

связанные с корнями функции Бесселя второго порядка

следующим равенством:

Коэффициенты разложения (2.18) равны

Используя разложение (2.18), получим из (2.16) для основной скорости следующее выражение:

Подставляя найденное выражение (2.22) в (2.7), получим окончательное выражение для перепада давления

Если воспользоваться рекуррентными формулами

и учесть уравнение (2.19), то формулы для скорости и перепада давления можно также представить в виде

В цитированной выше работе С. М. Тарга были вычислены профили распределения скоростей для ряда сечений, представленные на рис. 92.

Рис. 92.

Картина развития течения на начальном участке круглой трубы, показанная на рис. 92, качественно согласуется с картиной, полученной из опытов Никурадзе.

Рис. 93.

Сопоставление результатов расчёта по формуле (2.24) с результатами экспериментов и результатами расчётов по другим формулам показано на рис. 93, заимствованном

нами из той же книги С. М. Тарга. Из этого рисунка видно, что картина распределения скоростей, получаемая с помощью формулы (2.24) на всём участке, количественно удовлетворительно согласуется с результатами опытов.

Полагая в (2.24) и сохраняя только первое слагаемое под знаком суммы, получим следующее приближённое выражение для скорости частиц жидкости на оси трубы:

где наименьший корень уравнений (2.19), равный

Если за длину начального участка принять то расстояние L от входа в трубу, при котором второе слагаемое в фигурной скобке (2.26) будет равно 0,01, то из (2.26) получим:

где R — число Рейнольдса для круглой трубы, т. е.

Подставляя числовое значение и значение из таблиц

будем иметь из (2.27):

Таким образом, длина начального участка круглой цилиндрической трубы пропорциональна числу Рейнольдса и значению радиуса трубы. Значение коэффициента пропорциональности в (2.29) достаточно хорошо совпадает со значением, определяемым из ряда опытов.