§ 4. Парадокс Стокса

В предыдущем параграфе было построено решение задачи о движении круглого цилиндра при предположении, что зона возмущений, вызываемых движением цилиндра, является ограниченной. Если же предполагать, что возмущения от движения цилиндра исчезают лишь на бесконечности, т. е. граничные условия (3.4) заменить условиями;

то для удовлетворения их мы должны в выражениях (3.9) для проек скоростей положить:

    (4.2)

Таким образом, при удовлетворении граничных условий (4.1) на бесконечности из четырёх постоянных, входящих в выражение (3.9) для функции тока, будут использованы три. Для удовлетворения двух граничных условий на самом, цилиндре останется только одно постоянное D. Следовательно, удовлетворение граничных условий прилипания чаетиц к поверхности цилиндра уже не представляется возможным. В самом деле, при использовании равенств (4.2) будем иметь из (3.9):

Удовлетворяя условиям (3.3) в отдельности, будем иметь различные значения для одного и того же постоянного

Это и значит, что при решении приближённых уравнений Стокса для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной вязкой несжимаемой жидкости удовлетворить одновременно и условиям обращения в нуль скоростей на бесконечности и условиям прилипания частиц к поверхности не представляется ввзможным. Это заключение о невозможности решения бигармонического уравнения для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости известно под названием парадокса Стокса. Для эллиптического цилиндра этот парадокс был доказан Уилтоном, а для цилиндра произвольного сечения Одквистом.

Пользуясь результатами исследований Н. И. Мусхелишвили и С. Г. Михлина, можно доказать парадокс Стокса и для случая одновременного поступательного движения нескольких замкнутых контуров с равными скоростями в безграничной жидкости. Рассмотрим вначале тот случай, когда жидкость простирается до бесконечности и с внутренней стороны ограничена одним лишь замкнутым контуром. Давление должно быть функцией однозначной, а согласно его выражению (2.8) это может быть только тогда, когда мнимая часть функции будет однозначной гармонической функцией. Пусть действительная часть этой функции будет многозначной, т. е. при однократном обходе против часовой стрелки какого-либо замкнутого контура она будет получать приращение В, где В — действительное число. Рассмотрим теперь функцию

где представляет точку вне области, т. е. точку внутри рассматриваемого контура. Так как функция при обходе вокруг контура, содержащего точку получает приращение то общее приращение всей правой части при указанном обходе будет равно нулю, т. е. функция будет функцией однозначной. Таким образом, можно положить:

где будет функцией, однозначной и голоморфной во всей области, занятой жидкостью. Выполняя интегрирование, получим:

где представляет собой однозначную и голоморфную функцию.

Положим

и потребуем, чтобы скорость, представляемая равенством (2.6), была однозначной. Для этого необходимо подсчитать приращение правой части (2.6) с учётом равенств (4.6) и (4.7) при обходе замкнутого контура и приравнять это приращение нулю:

Так как это равенство должно выполняться при любом значении независимого переменного , то должны обращаться в нуль отдельно как свободные члены, так и коэффициенты при степенях Таким образом, будем иметь:

Следовательно, функции при использовании равенств (4.6), (4.7) и (4.8) будут представляться в виде

где и х — функции, однозначные и голоморфные внутри рассматриваемой области. При представлении функций равенствами (4.9) как давление, так и скорость во всей области будут однозначными функциями.

Если же область, простирающаяся до бесконечности, будет ограничена с внутренней стороны не одним замкнутым контуром, а замкнутыми контурами, то число логарифмических членов в выражениях (4.9) функций может быть равно числу контуров, т. е.

Возьмём теперь окружность Г достаточно большого радиуса, охватывающую собой все рассматриваемые замкнутые контуры. Тогда для всякой точки z, находящейся вне этой окружности, будем иметь:

Следовательно, для точек вне окружности Г равенства (4.10) представятся в виде

где представляют собой голоморфные функции вне окружности, за исключением. быть можёт, самой бесконечно удалённой точки. По теореме

Лорана эти функции вне окружности будут представляться следующими рядами:

Потребуем теперь, чтобы давление было ограниченной функцией во всей области. На основании (2.8), (4.11) и (4.12) для давления будем иметь:

Для ограниченности величины давления для точек вне окружности необходимо положить:

При выполнении этого условия первое равенство (4.11) можно представить в виде

где функция является голоморфной вне окружности, включая и бесконечно удалённую точку. Используя выражение (4.14) и вторые равенства (4.11) и (4.12), получим для скорости (2.6) выражение

Для выполнения требования ограниченности скоростей во всей области вне окружности необходимо положить:

При выполнении этих условий формула (4.14) для и вторая формула (4.11) для будут представляться в виде

где функции будут функциями, голоморфными вне рассматриваемой окружности Г достаточно большого радиуса, включая и бесконечно удалённую точку.

Переходя к непосредственному доказательству парадокса Стокса, обратимся к уравнениям (2.2). Умножая первое уравнение на и, а второе на V и складывая, получим:

К левой части этого равенства прибавим выражение

а в правой части вынесем знаки дифференцирования за скобки. Тогда получим:

или

Обе части равенства (4.18) умножим на и проинтегрируем по всей области S, ограниченной с внешней стороны окружностью Г, а с внутренней стороны совокупностью замкнутых контуров. Так как в скобках в правой части (4.19) находятся однозначные функции, то можно использовать обычные формулы преобразования интеграла по площади в интеграл по всей границе. В результате всего этого получим:

где через L ооозначена вся совокупность внутренних контуров. Мы отыскиваем решение бигармонического уравнения для функции тока при условии обращения скоростей и и v в нуль на бесконечности, поэтому интеграл по контуру Г окружности безгранично увеличивающегося радиуса в правой части (4.19) можно положить равным нулю. На каждом внутреннем контуре совокупности L должно выполняться условие прилипания, т. е.

Учитывая все эти условия, равенство (4.19) можно представить в виде

На основании (2.9) будем иметь:

Используя последнее равенство, из (4.20) получим:

    (4.21)

Функция , представляемая первым равенством (4.10), при полном обходе контура номера k получает приращение

При однократном обходе всех контуров приращение этой функции будет равно