§ 4. Развитие ламинарного движения жидкости в коническом диффузоре

Пусть мы имеем конический диффузор с углом раствора (рис. 96). Предполагая движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся и осесимметричным будем иметь из (6.10) и (6.11) главы И следующие дифференциальные уравнения в сферических координатах:

Как и в предшествующих параграфах, упростим нелинейные дифференциальные уравнения (4.1) с помощью частичного учёта слагаемых от вязкости и от квадратичных членов инерции. Во-первых, предположим, что из всех слагаемых в квадратной скобке в правой части первого уравнения (4.1) наибольший порядок величины будут иметь слагаемые, содержащие производные от радиальной скорости по углу 0. Во-вторых, поперечную скорость будем считать малой по сравнению с радиальной скоростью и на этом основании будем пренебрегать

в первых двух уравнениях (4.1) всеми слагаемыми, содержащими поперечную скорость. В-третьих, множитель в первом квадратичном члене инерции первого уравнения (4.1) заменим той скоростью U, которая является характерной для каждого сечения диффузора. При этих трёх допущениях из уравнений (4.1) получим следующие приближённые линейные уравнения:

Проводя интегрирование по углу 0 во втором уравнении (4.2), получим давление

где - произвольная функция от одного переменного R. При подстановке (4.3) в первое уравнение (4.2) мы можем пренебречь согласно нашему первому допущению теми слагаемыми, которые будут получаться от дифференцирования первого слагаемого (4.3).

Рис. 96.

Приближённые уравнения (4.2) аналогичны приближённым уравнениям (1.1), (2.1) и (3.4), которые были использованы в предшествующих параграфах. Во всех этих уравнениях сохранялся лишь один квадратичный член инерции в первом уравнении, но не в полном своём виде, а в виде произведения некоторой скорости, характерной для данного сечения трубы или диффузора, на соответственную производную от истинной основной компоненты вектора скорости. Легко усмотреть, что в предшествующих параграфах характерная скорость выбиралась таким образом, чтобы вводимое число Рейнольдса по характерным величинам сечения оставалось одним и тем же для всех сечений трубы или диффузора. Этим же соображением будем руководствоваться и в данном случае конического диффузора. Выбирая за характерный размер сечения определим число Рейнольдса для сечения в виде

Тогда требование сохранения числа Рейнольдса для всех радиальных сечений будет выполнено, если характерная скорость будет переменной величиной, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию от вершины диффузора. Полагая, что по входному сечению радиальная скорость распределена равномерно, т. е.

получим из требования постоянства числа Рейнольдса следующее выражение для характерной скорости:

К граничному условию (4.5) необходимо присоединить условия прилипания частиц жидкости к стенкам диффузора:

Так как элемент поверхности сферы с центром в вершине диффузора равен

то условие постоянства расхода через радиальное сечение диффузора будет представляться в виде

Таким образом, задача изучения развития движения вязкой несжимаемости в коническом диффузоре сводится к решению дифференциальных уравнений (4.2) при граничных условиях (4.5), (4.7) и (4.8).

Проводя интегрирование по углу 0 в третьем уравнении (4.2), получим выражение для поперечной скорости

В силу условия (4.8) левая часть выражения (4.9) будет обращаться в нуль на стенках диффузора, т. е. условия (4,7) для поперечной скорости будут выполнены.

При использовании (4.3) и (4.6) первое уравнение (4.2) может быть представлено в виде

Умножая левую и правую части этого уравнения на и проводя интегрирование по углу в пределах от 0 до получим:

Используя условие (4.8), найдём:

Если равенство (4.8) применить к начальному сечению, то для расхода будем иметь следующее выражение:

Подставляя (4.11) в уравнение (4.10), используя (4.12) и вводя обозначения

получим уравнение для радиальной скорости

которое необходимо решить при следующих граничных условиях:

К решению уравнения (4.14) применяем метод преобразования Лапласа. Полагая

будем иметь:

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4.14) и к первому граничному условию (4.15), получим следующую задачу для изображения радиальной скорости:

Из двух независимых решений однородного уравнения (4.17) выбираем именно то решение, которое будет ограниченным на оси диффузора, т. е. при Обозначая это решение через и присоединяя к нему частное решение неоднородного уравнения (4.17), получим:

Отсюда будем иметь:

Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение для постоянной:

Таким образом, решение задачи (4.17) для изображения радиальной скорости будет представляться в виде

До сих пор мы никаких ограничений на угол раствора диффузора не накладывали. А теперь допустим, что угол раствора диффузора настолько мал, что можно приближённо положить:

При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет представляться в виде

и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой функцию Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, т. е.

Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой

то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах

твора конического диффузора будет представляться в виде

Сопоставляя равенство (4.22) с решением (2.15) для изображения осевой скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что различие состоит в наличии дополнительного множителя

и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей а и находятся множители .

Раскладывая правую часть на простые дроби, будем иметь:

где связаны с корнями уравнения

соотношением

а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в виде

Используя разложение (4.23) и выражения (4.26), получим выражение для оригинала радиальной скорости

При замене через R на основании (4.13) радиальная скорость будет представляться в виде

Подставляя (4.12) и (4.28) в (4.11) и проводя интегрирование по переменному R, будем иметь:

На основании рекуррентных формул для бесселевых функций

мы можем в правой части (4.29) произвести следующие замены:

Используя (4.29) и (4.30), получим из (4.3) следующее выражение для давления:

Так как при возрастании R до бесконечности скорость на основании (4.28) будет стремиться к нулю, то будет представлять собой давление на бесконечности.

Полагая в (4.31) будем иметь для разности давлений в начальном сечении диффузора и на бесконечности следующее равенство:

Найдём конечное выражение для суммы, входящей в правую часть (4.32), Так как

то сумма (4.32) равна

На основании разложения на простые дроби производной от логарифма функции

и использования рекуррентных формул будем иметь:

Подставляя в (4.34) последовательно

получим:

Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение:

Таким образом, для разности давлений из (4.32) и (4.36) будем иметь:

При исследовании функции

можно обнаружить, что действительным корнем этой функции будет:

и до достижения аргументом х значения функция будет отрицательной, а затем положительной. На этом основании будем иметь при выполнении неравенства

    (4.38)

В этом случае течение в диффузоре будет происходить в сторону падения давления. Если же считать параметр k малым и пренебрегать поэтому первым слагаемым в правей части (4.37), то при

выполнении неравенства

давление в начальном сечении будет меньше давления на бесконечности и течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.

Для касательного напряжения из (6.9) главы II найдём:

В силу принятых в этом параграфе допущений можно двумя вторыми слагаемыми в скобке пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, сила вязкости на стенках диффузора равна

Подставляя в (4.40) значение из (4.28) и используя приведённую выше рекуррентную формулу, получим для силы вязкости на стенках диффузора следующее выражение:

Как и раньше, будем считать, что отрыв потока от стенок будёт происходить в том месте, в котором сила вязкости обращается в нуль. Тогда из (4.41) получим уравнение для определения точки отрыва

где

Наименьший, отличный от нуля корень функции Бесселя первого порядка имеет значение

Все корни функции Бесселя второго порядка будут больше наименьшего корня функции т. е.

Так как при выполнении неравенства

будем иметь:

то знаки левой и правой части (4.42) будут различны. Следовательно, при выполнении неравенства (4.44) отрыва жидкости от стенок происходить не будет.

Рис. 97.

Подставляя в (4.44) значения к и получим неравенство для числа Рейнольдса

Таким образом, при малых числах Рейнольдса, не превышающих правой части неравенства (4.45), течение вязкой жидкости в коническом диффузоре будет безотрывным.

Если число Рейнольдса будет превышать правую часть (4.45),

то поток жидкости будет отрываться от стенок диффузора, а так как при этом будет выполняться и неравенство (4.39), то течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления. При этом с возрастанием числа Рейнольдса место отрыва потока от стенок будет приближаться к входному сечению. В цитированной выше работе С. М. Тарга приведён график зависимости места отрыва от значения числа Рейнольдса, который мы и воспроизводим здесь (рис. 97).