Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Развитие ламинарного движения жидкости в коническом диффузореПусть мы имеем конический диффузор с углом раствора
Как и в предшествующих параграфах, упростим нелинейные дифференциальные уравнения (4.1) с помощью частичного учёта слагаемых от вязкости и от квадратичных членов инерции. Во-первых, предположим, что из всех слагаемых в квадратной скобке в правой части первого уравнения (4.1) наибольший порядок величины будут иметь слагаемые, содержащие производные от радиальной скорости по углу 0. Во-вторых, поперечную скорость в первых двух уравнениях (4.1) всеми слагаемыми, содержащими поперечную скорость. В-третьих, множитель
Проводя интегрирование по углу 0 во втором уравнении (4.2), получим давление
где
Рис. 96. Приближённые уравнения (4.2) аналогичны приближённым уравнениям (1.1), (2.1) и (3.4), которые были использованы в предшествующих параграфах. Во всех этих уравнениях сохранялся лишь один квадратичный член инерции в первом уравнении, но не в полном своём виде, а в виде произведения некоторой скорости, характерной для данного сечения трубы или диффузора, на соответственную производную от истинной основной компоненты вектора скорости. Легко усмотреть, что в предшествующих параграфах характерная скорость выбиралась таким образом, чтобы вводимое число Рейнольдса по характерным величинам сечения оставалось одним и тем же для всех сечений трубы или диффузора. Этим же соображением будем руководствоваться и в данном случае конического диффузора. Выбирая за характерный размер сечения
Тогда требование сохранения числа Рейнольдса для всех радиальных сечений будет выполнено, если характерная скорость будет переменной величиной, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию от вершины диффузора. Полагая, что по входному сечению радиальная скорость распределена равномерно, т. е.
получим из требования постоянства числа Рейнольдса следующее выражение для характерной скорости:
К граничному условию (4.5) необходимо присоединить условия прилипания частиц жидкости к стенкам диффузора:
Так как элемент поверхности сферы с центром в вершине диффузора равен
то условие постоянства расхода через радиальное сечение диффузора будет представляться в виде
Таким образом, задача изучения развития движения вязкой несжимаемости в коническом диффузоре сводится к решению дифференциальных уравнений (4.2) при граничных условиях (4.5), (4.7) и (4.8). Проводя интегрирование по углу 0 в третьем уравнении (4.2), получим выражение для поперечной скорости
В силу условия (4.8) левая часть выражения (4.9) будет обращаться в нуль на стенках диффузора, т. е. условия (4,7) для поперечной скорости будут выполнены. При использовании (4.3) и (4.6) первое уравнение (4.2) может быть представлено в виде
Умножая левую и правую части этого уравнения на
Используя условие (4.8), найдём:
Если равенство (4.8) применить к начальному сечению, то для расхода будем иметь следующее выражение:
Подставляя (4.11) в уравнение (4.10), используя (4.12) и вводя обозначения
получим уравнение для радиальной скорости
которое необходимо решить при следующих граничных условиях:
К решению уравнения (4.14) применяем метод преобразования Лапласа. Полагая
будем иметь:
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4.14) и к первому граничному условию (4.15), получим следующую задачу для изображения радиальной скорости:
Из двух независимых решений однородного уравнения (4.17) выбираем именно то решение, которое будет ограниченным на оси диффузора, т. е. при
Отсюда будем иметь:
Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение для постоянной:
Таким образом, решение задачи (4.17) для изображения радиальной скорости будет представляться в виде
До сих пор мы никаких ограничений на угол раствора диффузора не накладывали. А теперь допустим, что угол раствора диффузора настолько мал, что можно приближённо положить:
При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет представляться в виде
и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой функцию Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, т. е.
Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой
то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах твора конического диффузора будет представляться в виде
Сопоставляя равенство (4.22) с решением (2.15) для изображения осевой скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что различие состоит в наличии дополнительного множителя
и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей а и Раскладывая правую часть на простые дроби, будем иметь:
где
соотношением
а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в виде
Используя разложение (4.23) и выражения (4.26), получим выражение для оригинала радиальной скорости
При замене
Подставляя (4.12) и (4.28) в (4.11) и проводя интегрирование по переменному R, будем иметь:
На основании рекуррентных формул для бесселевых функций
мы можем в правой части (4.29) произвести следующие замены:
Используя (4.29) и (4.30), получим из (4.3) следующее выражение для давления:
Так как при возрастании R до бесконечности скорость Полагая в (4.31)
Найдём конечное выражение для суммы, входящей в правую часть (4.32), Так как
то сумма (4.32) равна
На основании разложения на простые дроби производной от логарифма функции
и использования рекуррентных формул будем иметь:
Подставляя в (4.34) последовательно
получим:
Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение:
Таким образом, для разности давлений из (4.32) и (4.36) будем иметь:
При исследовании функции
можно обнаружить, что действительным корнем этой функции будет:
и до достижения аргументом х значения
В этом случае течение в диффузоре будет происходить в сторону падения давления. Если же считать параметр k малым и пренебрегать поэтому первым слагаемым в правей части (4.37), то при выполнении неравенства
давление в начальном сечении будет меньше давления на бесконечности и течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления. Для касательного напряжения из (6.9) главы II найдём:
В силу принятых в этом параграфе допущений можно двумя вторыми слагаемыми в скобке пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, сила вязкости на стенках диффузора равна
Подставляя в (4.40) значение
Как и раньше, будем считать, что отрыв потока от стенок будёт происходить в том месте, в котором сила вязкости обращается в нуль. Тогда из (4.41) получим уравнение для определения точки отрыва
где
Наименьший, отличный от нуля корень функции Бесселя первого порядка
Все корни функции Бесселя второго порядка будут больше наименьшего корня функции т. е.
Так как при выполнении неравенства
будем иметь:
то знаки левой и правой части (4.42) будут различны. Следовательно, при выполнении неравенства (4.44) отрыва жидкости от стенок происходить не будет.
Рис. 97. Подставляя в (4.44) значения к и
Таким образом, при малых числах Рейнольдса, не превышающих правой части неравенства (4.45), течение вязкой жидкости в коническом диффузоре будет безотрывным. Если число Рейнольдса будет превышать правую часть (4.45),
то поток жидкости будет отрываться от стенок диффузора, а так как при этом будет выполняться и неравенство (4.39), то течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления. При этом с возрастанием числа Рейнольдса место отрыва потока от стенок будет приближаться к входному сечению. В цитированной выше работе С. М. Тарга приведён график зависимости места отрыва от значения числа Рейнольдса, который мы и воспроизводим здесь (рис. 97).
|
1 |
Оглавление
|