§ 8. Свободные турбулентные движения

В предшествующих параграфах рассматривались те случаи установившихся турбулентных движений вязкой несжимаемой жидкости, которые имеют место при наличии твёрдых стенок. Однако в природе и технике встречаются случаи установившихся турбулентных движений жидкостей и газов без ограничивающего влияния твёрдых границ и без наличия продольных перепадов движения. Характерными примерами таких движений могут служить: 1) движение частиц жидкости в струе, вытекающей из какого-либо резервуара в пространство, занятое той же самой жидкостью, но находящейся в покое на достаточном удалении от отверстия, 2) движение жидкости позади выпуклого тела на достаточном от него удалении при обтекании этого тела безграничным потоком, т. е. движение в так называемом следе за обтекаемым телом. Эти два случая свободных турбулентных движений имеют общие черты, заключающиеся в том, что внешняя граница, отделяющая область турбулентного движения жидкости от остальной части жидкости, постепенно расширяется по мере удаления в случае струи от отверстия, а в случае следаот обтекаемого тела, и в том, что распределение основных скоростей по сечениям, перпендикулярным к основному направлению течения в струе

и следе, в обоих случаях представляется подобными друг другу кривыми. Различие же их заключается лишь в том, что в случае струи окружающая её жидкость тормозит движение частиц в струе, и поэтому максимальное значение основной скорости будет иметь место на средней линии, или оси струи, а в случае следа будет происходить наоборот: окружающая след жидкость своим движением будет поддерживать движение примыкающих слоёв следа, и поэтому на средней линии, или оси следа, основная скорость будет иметь наименьшее значение.

К этим двум случаям свободного турбулентного движения были применены полуэмпирические теории турбулентности и результаты расчётов очень хорошо оправдывались результатами измерений в соответствующих опытах. Как уже было указано в § 6, лучшее подтверждение в рассматриваемых случаях свободной турбулентности получила теория Тэйлора, основанная на гипотезе переноса завихренности. Согласно этой теории в правой части уравнения осреднённого прямолинейного течения за счёт влияния переноса завихренности появляется дополнительное слагаемое в виде

где А — коэффициент турбулентного обмена, - поперечная составляющая вектора скорости пульсации и - длина пути перемешивания завихренности. Во всех полуэмгшрических теориях турбулентности принимается гипотеза

Таким образом, для изучения турбулентного движения жидкости в струе или в следе за обтекаемым телом могут быть использованы уравнения, аналогичные уравнениям (7.6) турбулентного пограничного слоя с той лишь разницей, что в большинстве случаев давление в струе или в следе можно считать постоянным, т. е. можно полагать

и что дополнительное слагаемое, обусловленное влиянием поля пульсаций на осреднённое течение, должно браться в виде

Если при этом перейти к обычным обозначениям проекций вектора скорости осреднённого течения, то задача изучения движения жидкости в плоской струе или плоском следе будет сводиться к решению

следующей системы уравнений:

где l — длина пути перемешивания или характерный линейный масштаб полей пульсаций является неопределённой функцией от координат.

Заметим, что при использовании теории Прандтля, основанной на гипотезе переноса количества движения, правая часть первого уравнения (8.3) имела бы вид

где — путь перемешивания количества движения по Прандтлю. Правая часть (8.4) будет совпадать с правой частью первого уравнения (8.3), если допустим, что 1) путь перемешивания количества движения не зависит от координаты у, т. е. для каждого сечения струи или следа за обтекаемым телом характерный линейный масштаб полей пульсаций остаётся одним и тем же, но может изменяться при переходе от одного сечения к другому, и 2) путь перемешивания завихренности связан с путём перемешивания количества движения равенством

Расчёты, проведённые при использовании предположения о постоянстве пути перемешивания в каждом сечении струи и следа, привели к результатам, хорошо согласующимся с результатами опытов в ряде случаев, поэтому это предположение стало исходным в теории свободных турбулентных движений жидкости.

Вторым исходным положением при изучении движения жидкости в свободной струе и в следе за обтекаемым телом явилось предположение о наличии подобия в распределении по сечениям струи или следа отношения основной скорости в произвольной точке сечения к основной скорости, например, на средней линии струи или следа. Если через обозначить половину условной ширины струи или следа, через — значение основной скорости на средней линии и через -отношение расстояния рассматриваемой точки в данном сечении до средней линии к половине ширины струи, то указанная выше гипотеза о подобии в распределении отношения скоростей в соответственных точках различных сечений струи или следа будет представляться в виде

Наконец, в теории свободной турбулентной струи используется предположение о постоянстве полного потока вектора количества

движения основных скоростей по каждому сечению струи. Для случая плоской струи это предположение будет представляться в виде

    (8.7)

где может быть названа импульсом струи.

Расчёты, проведённые с помощью перечисленных выше трёх гипотез, привели к результатам, хорошо согласующимся с результатами опытов, но именно для той области струи, которая достаточно удалена от отверстия резервуара и не содержала в себе так называемого ядра постоянных скоростей. Теория турбулентной свободной струи с учётом образования начального участка подробно развита в работах Г. Н. Абрамовича 1).

Подставляя выражение (8.6) для основной скорости в (8.7), получим:

Таким образом, ширина плоской турбулентной струи связана со скоростью частиц жидкости на средней линии следующим соотношением:

    (8.8)

Для пространственной турбулентной струи кругового сечения связь радиуса сечения струи со скоростью частиц на средней линии будет представляться в виде

    (8.9)

На основании теории размерностей и гипотезы подобия было сделано предположение о том, что ширина струи возрастает пропорционально расстоянию х от отверстия или от особой точки, названной полюсом струи, и это предположение нашло хорошее подтверждение в большинстве случаев.

Таким образом, можно положить:

где с представляет собой безразмерную постоянную, характеризующую степень турбулентности рассматриваемой плоской или пространственной струи и определяемую только из опыта.

На основании (8.8), (8.9), (8.10) можно заключить, что скорость движения частиц по средней линии плоской струи будет убывать

обратно пропорционально корню квадратному из расстояния х, т. е.

а скорость движения частиц по оси пространственной струи кругового сечения будет убывать обратно пропорционально первой степени этого расстояния, т. е.

Таким образом, основные характеристики плоской и пространственной турбулентной струи определяются с точностью до постоянных равенствами (8.10), (8.11) и (8.12). Следовательно, к дифференциальным уравнениям (8.3) для плоской струи необходимо обращаться только для определения распределения проекций скоростей по сечению струи с учётом граничных условий.

Расчёты в отдельных случаях показали, что правая часть первого уравнения (8.3) без большой ошибки может быть заменена линейным слагаемым, содержащим лишь вторую производную от искомой функции. Для этого достаточно предположить, что коэффициент турбулентного объёма А в (8.1) остаётся почти постоянным при переходе от одной точки к другой в том же сечении струи, и заменить производную в (8.2) через среднее значение, равное отношению разности скорости на средней линии струи и скорости на грнице к ширине струи, т. е.

Путь перемешивания можно считать пропорциональным ширине струи, т. е.

При этих двух дополнительных предположениях коэффициент турбулентного обмена будет представляться в виде

а уравнения (8.3) примут вид

Если ввести функцию тока, полагая

то при использовании (8.6), (8.10) и (8.11) будем иметь:

При этом значение функции тока на средней линии положено равным нулю. Выполняя дифференцирование по координатам х и у, получим:

Таким образом, первое уравнение (8.16) будет иметь вид

Так как

то после двукратного интегрирования уравнения (8.19) получим:

Постоянные интегрирования получим из граничных условий: функция тока 6 на средней линии обращается в нуль:

2) продольная составляющая скорости и принимает экстремальное значение на средней линии струи:

и 3) значение продольной составляющей на средней линии струи обозначается через т. е.:

При выполнении перечисленных условий уравнение (8.20) примет вид

Если провести интегрирование и учесть условия 1) и 3), то получим:

или

Используя (8.18) и (8.21), получим следующие выражения для продольной и поперечной составляющей вектора скорости осреднённого течения в рассматриваемой плоской струе:

Чтобы исключить из рассмотрения постоянные k и с, будем относить расстояния произвольной точки в сечении струи от средней линии к расстоянию той точки от оси, в которой продольная составляющая равна половине скорости на самой средней линии, т. е.

При таком предположении будем иметь:

и распределение продольной составляющей скорости по сечению плоской струи будет представляться в виде

На рис. 109 график зависимости (8.23) представлен пунктирной кривой, а сплошной линией представлена та зависимость, которая была получена Толлминома) с помощью численного интегрирования

уравнений без использования предположения о постоянстве в сечениях струи коэффициента турбулентного объёма А. Данные экспериментов, представленные на рис. 109 кружочками, располагаются тесно вблизи двух расчётных кривых.

Чтобы подсчитать полный расход через сечение рассматриваемой плоской струи, примем, что формула распределения продольных скоростей по сечению струи (8.22) остаётся справедливой и для того случая, когда ширина струи асимптотически стремится к бесконечности, т. е. первая формула (8.22) остаётся справедливой для всех значений от до

Рис. 109.

При таком предположении расход массы будет представляться в виде

Учитывая при этом (8.8) и (8.10), получим:

Таким образом, расход массы в плоской струе в начале струи обращается в нуль, затем растёт неограниченно. Иначе говоря, вся струя состоит из той жидкости, которая увлекается действием струи из окружающего струю пространства.