§ 7. Распространение тонкой ламинарной струи

Дифференциальные уравнения, выведенные для пограничного слоя вблизи твёрдой стенки, нашли своё применение и в изучении распространения движения от струи, втекающей в полубесконечное пространство, заполненное той же жидкостью, но находящейся на бесконечности в состоянии покоя. Если при обтекании твёрдой границы происходит распространение торможения от стенки внутрь потока благодаря вязкости, то при втекании струи в безграничную жидкость происходит распространение уже самого движения благодаря той же вязкости жидкости. Такое сходство явлений и обусловливает возможность использования одних и тех же дифференциальных уравнений.

Рассмотрим случай бесконечно тонкой плоской струи типа источника. Начало координат поместим в точке источника струи, ось х направим по плоскости симметрии, а ось у— перпендикулярно к этой плоскости. Так как через элементарный отрезок проходящая масса переносит с собой количество движения то полное количество движения, переносимое всей струёй через всю прямую, параллельную оси у, будет представляться в виде

Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое и если нет каких-либо твёрдых границ внутри жидкости, то давление можно считать всюду постоянным, т. е.

    (7.2)

Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области между двумя прямыми, параллельными оси у, и используя постоянство давления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струёй количества движения, т. е.

    (7.3)

Полное количество движения, переносимое струёй, называется импульсом струи. Импульс струи считается заданным, так как считается заданным распределение скоростей в начальном сечении струи.

Для изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (1.13) пограничного слоя. Эти уравнения при использовании постоянства давления принимают вид

На линии симметрии продольная составляющая вектора скорости должна быть наибольшей, а поперечная составляющая должна обратиться в нуль. Таким образом, для линии будем иметь следующие граничные условия:

Считая, что движение от струи распространяется до бесконечности, будем иметь дополнительное условие:

Таким образом, задача изучения движения жидкости в плоской струе сводится к решению уравнений (7.4) при граничных условиях (7.5) и (7.6) и при интегральном инварианте (7.3).

Для случая струи типа источника можно методом размерностей свести уравнения (7.4) к одному обыкновенному уравнению. В этом случае единственной заданной размерной величиной будет импульс струи и, следовательно, масштабы длины и скорости U будут связаны одним соотношением

где R — число Рейнольдса, неопределённое пока безразмерное число. Пользуясь этим соотношением, мы можем, например, масштаб длины выразить через масштаб скорости в виде

При таком выборе масштаба длины формулы перехода от размерных координат и скоростей к безразмерным будут представляться в виде

Уравнения (7.4) при переходе к безразмерным координатам и скоростям примут вид

Если мы построим решения уравнений (7.10) и затем перейдём к размерным величинам, то размерные скорости окажутся функциями произвольного масштаба скорости U, который в размерные уравнения (7.4) не входит. Следовательно, можно потребовать, чтобы размерные скорости не зависели от произвольного масштаба скорости U. Если положить

то требование независимости размерной скорости от масштаба U даёт:

Выполняя дифференцирование и используя (7.9), поляям следующее уравнение:

Применяя метод характеристик, получим:

Интегралами этих уравнений характеристик будут:

и поэтому решение уравнения (7.12) будет представляться в виде

Таким образом, новым независимым безразмерным переменным будет:

и для этого переменного будем иметь:

Если ввести безразмерную функцию тока, полагая

то получим:

При подстановке этих равенств в первое уравнение (7.10) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для введённой функции тока .

Из граничных условий (7.5) получим следующие условия для искомой функции :

Непосредственно находим первый интеграл уравнения (7.18) в виде

На основании граничных условий (7.19) постоянную С необходимо положить равной нулю:

Выполняя дальнейшее интегрирование уравнения (7.20), найдём:

На основании равенств (7.17) и (7.9) размерная продольная составляющая скорости будет представляться в виде

Распорядимся выбором неопределённого числа так, чтобы

При этом условии и втором условии (7.19) постоянное интегрирования D должно равняться единице. Таким образом, получим для функции следующее уравнение первого порядка:

Решая это уравнение методом разделения переменных и используя второе условие (7.19), получим конечное выражение для искомой функции в виде

На основании (7.25) и первых равенств (7.17) получим следующие выражения для безразмерных скоростей:

Для максимальной скорости на линии симметрии будем иметь:

Связь между продольной скоростью и максимальной выражается в виде

Переходя в равенстве (7.3) к безразмерным величинам на основании (7.9), (7.15) и (7.26), получим следующее выражение для числа :

В заключение подсчитаем расход через бесконечную прямую, параллельную оси у.

Таким образом, расход через начальное сечение струи равен нулю, а затем расход растёт благодаря подтеканию с боков струи. Примерный характер линий тока, определяемых по уравнению

    (7.31)

показан на рис. 72.

Рис. 72.

Обращаемся теперь к рассмотрению пространственной ламинарной струи, имеющей ось симметрии. Расстояние точки до оси симметрии будем обозначать через .

Импульс пространственной струи необходимо определить в виде

где представляет осевую компоненту скорости. В силу отсутствия стенок давление можно полагать всюду постоянным:

Если обратиться к уравнению для осевой компоненты скорости и уравнению несжимаемости в цилиндрических координатах (7.1) главы IV и в первом из них отбросить слагаемое в правой части, то получим те уравнения, которые применяются для изучения пространственного пограничного слоя на теле вращения и для изучения распространения движения от ламинарной пространственной струи:

Граничные условия для пространственной струи будут следующие:

В случае струи типа источника уравнения (7.33) можно таким же методом, как и для плоской струи, свести к обыкновенному уравнению для функции тока.

Если положить:

то на основании равенства (7.32) будем иметь:

Выберем масштаб для скорости U так, чтобы выполнялось равенство

тогда из (7.36) получим:

Если масштаб длины l оставить ироизвольным, а масштаб скорости определить из (7.37) в виде

то число Рейнольдса представится в виде:

Тогда формулы преобразования размерных величин в безразмерные будут:

Используя эти формулы преобразования (7.41), получим из (7.33) безразмерные уравнения

Решения уравнений (7.42) будут зависеть от отдельных безразмерных координат и поэтому при переходе к размерным координатам размерные скорости будут зависеть от произвольного масштаба длины l, который в уравнения (7.33) не входит. Можно потребовать, чтобы осевая компонента скорости не зависела от I. Если положить:

то требование независимости скорости от даст:

Выполняя дифференцирование, получим уравнение

Решение этого уравнения, построенное по методу характеристик, будет следующее:

Таким образом, новым безразмерным независимым переменным, являющимся комбинацией прежних независимых переменных, будет:

Если обратиться ко второму уравнению (7.42) и использовать условия (7.34) и равенства (7.44) и (7.45), то получим следующее выражение для радиальной скорости:

Вводим функцию тока 6, полагая

Подставляя в левые части (7.47) значения скоростей из (7.46) и (7.44), получим:

На основании этих равенств функция тока равна

Компоненты скорости и их производные через введённую функцию выражаются по формулам

Если подставить выражения (7.50) в первое уравнение (7.42), то получим обыкновенное дифференциальное уравнение

Так как

то первый интеграл уравнения (7.51) будет:

Для определения постоянного заметим, что на оси симметрии струи осевая компонента скорости должна быть конечной, а это может быть на основании первого равенства (7.50), если числитель при будет обращаться в нуль, т. е.

При выполнении условия (7.53) постоянное С должно обращаться в нуль, а уравнение для функции примет вид

Решение этого уравнения, регулярное при можно искать в виде степенного ряда

Подставляя этот ряд в (7.54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степейях получим;

Следовательно, регулярное решение уравнения (7.54) будет представляться в виде

Выражение в скобке есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна

Таким образом, решение уравнения (7.54), удовлетворяющее условиям (7.34) и (7.53), будет следующее:

Для определения коэффициента необходимо обратиться к равенству (7.38), которое при замене будет иметь вид

Так как

то для определения получим равенство

откуда

Таким образом, распределение безразмерных скоростей в ламинарной пространственной струе будет определяться согласно равенствам

Расход через всю плоскость, перпендикулярную к оси струи, равен

Таким образом, и здесь расход в начальном сечении равен нулю, а затем по мере удаления от источника струи расход растёт за счёт подтекания в струю жидкости с боковых сторон благодаря увлечению движущимися частицами частиц покоящейся среды. Максимальная скорость на оси струи будет равна

На основании первого равенства (7.39) и (7.57) получим следующее выражение для размерной осевой скорости в произвольной точке струи:

Относя осевую скорость (7.60) к её максимальному значению оси при той же абсциссе получим:

Если в качестве условной границы струи принять поверхность, для которой левая часть (7.61) равна 0,01, то уравнение этой поверхности будет представляться в виде

т. е. внешней границей рассматриваемой ламинарной струи будет конус, угол раствора которого прямо пропорционален коэффициенту вязкости жидкости и обратно пропорционален квадратному корню из импульса струи.

Сопоставляя (7.30) и (7.58), мы видим, что расход в плоской струе зависит от импульса струи, тогда как расход в пространственной струе от импульса струи не зависит. На основании равенства (7.28) можно получить, что условная граница плоской струи будет криволинейной, тогда как для пространственной струи эта условная граница оказалась прямолинейной.