ГЛАВА X. РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

§ 1. Развитие ламинарного движения между параллельными стенками

В главе IV были решены задачи об установившемся прямолинейнопараллельном течении вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижными стенками и в круглой цилиндрической трубе. Предположение о прямолинейности траекторий всех частиц жидкости может оправдываться строго только при условии, что сами стенки на всём своём протяжении являются прямолинейными и простираются в обе стороны до бесконечности. Если же стенки по своей длине ограничены и если к тому же у своих концов они не будут строго Прямолинейными, то предположение о прямолинейном характере траекторий всех частиц жидкости может оправдываться только приближённо на тех участках, которые будут достаточно удалены от концов стенок. Как уже указывалось в § 5 главы IV, ламинарное движение в цилиндрической трубе ограниченной длины может реально осуществляться при выполнении двух условий. Во-первых, число Рейнольдса не должно превышать своего критического значения. Во-вторых, длина трубы, отсчитываемая от входного её сечения, должна превышать длину так называемого начального участка, на протяжении которого всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, будут постепенно уменьшаться. При выполнении этих двух условий на протяжении начального участка будут постепенно развиваться те основные признаки ламинарного режима, о которых была речь в § 5 главы IV.

Задача определения характера движения вязкой несжимаемой жидкости на начальном участке цилиндрической трубы впервые решалась в работе Буссинеска с помощью ряда допущений и упрощений дифференциальных уравнений движений вязкой жидкости в цилиндрических координатах. Затем эта же задача решалась Шиллером путём сопряжения прямолинейного профиля распределения скорости

в ядре течения с параболическим профилем распределения скоростей в пограничном слое. Таким же способом Л. С. Лейбензоном была решена задача о начальном участке для течения между параллельными неподвижными стенками.

Систематическое исследование вопроса о начальном участке течения в трубах и в диффузорах было выполнено в работе С. М Тарга с помощью приближённых уравнений.

Пусть две прямолинейные и параллельные стенки простираются до бесконечности лишь в одну сторону (рис. 90). Обозначим расстояние между стенками через Начало оси х выберем в середине расстояния между концами стенок. Для определения движения на начальном участке применим уравнения, формально совпадающие с приближёнными уравнениями (5.1) главы VIII:

Рис. 90.

В этих уравнениях квадратичные члены инерции учтены лишь частично в первом уравнении, а слагаемые от вязкости учитываются так же, как в теориях смазочного и пограничного слоя. Множитель U представляет собой среднюю по сечению скорость.

Сформулируем теперь граничные условия. На стенках должно выполняться условие прилипания жидкости к стенкам, т. е.

Расход жидкости через каждое сечение рассматриваемой плоской трубы должен оставаться одним и тем же, т. е.

К граничным условиям (1.2) и (1.3) необходимо присоединить условие у входа в трубу. Рассмотрим тот простейший случай, при котором основная компонента скорости и по начальному сечению трубы распределяется равномерно, т. е.

Из последнего уравнения (1.1) для поперечной компоненты скорости v получим:

Используя равенство (1.3), легко видеть из (1.5), что условия обращения скорости v в нуль на стенках будут выполнены.

Проводя интегрирование левой и правой частей первого уравнения (1.1) по переменному у, получим:

Отсюда, учитывая (1.3), получим следующее выражение для перепада давления:

Таким образом, рассматриваемая задача сводится только к определению основной скорости и из следующего дифференциального уравнения параболического типа:

Уравнение (1.7) и равенства (1.5) и (1.6) будут иметь место при любом распределении основной скорости у входа в трубу.

В рассматриваемом нами частном случае (1.4) начального распределения скоростей можно полагать, что распределение скоростей в произвольном сечении плоской трубы будет симметричным по отношению к средней линии. В таком случае будут иметь место следующие равенства:

Обозначая

получим из (1.7) следующее дифференциальное уравнение для определения основной скорости:

Уравнение (1.11) необходимо решить при следующих граничных условиях:

Сопоставляя данную задачу решения уравнения (1.11) при граничных условиях (1.12) с задачей неустановившегося прямолинейнопараллельного движения между параллельными стенками, простейший случай которой был рассмотрен в § 4 главы IX, мы видим много общего. Это обстоятельство указывает на возможность использования при решении данной задачи того же метода операционного исчисления, который использовался при решении задач в главе IX.

Вводя преобразование Лапласа по независимому переменному х от искомой функции и

и используя первое граничное условие (1.12), будем иметь:

Если уравнение (1.11) и второе и третье граничные условия (1.12) подвергнуть преобразованию Лапласа, то данная задача по определению скорости будет сведена к следующей задаче определения изображения этой скорости:

Решение дифференциального уравнения (1.15) для изображения будет представляться в виде

Дифференцируя обе части (1.16), получим:

Используя граничные условия (1.15) и равенство (1.17), получим для определения постоянных следующие уравнения:

Решая эти уравнения, будем иметь:

Подставляя значения постоянных в (1.17) и (1.16), найдём:

С помощью обращения преобразования Лапласа (1.19) получим следующее выражение для оригинала основной скорости течения:

Чтобы определить характер течения вязкой жидкости в плоской трубе для весьма далёких расстояний от входа, достаточно найти выражение изображения основной скорости при малых значениях параметра преобразования. Раскладывая каждое слагаемое в числителе и знаменателе (1.19) и ограничиваясь слагаемыми не выше второй степени от аргумента, найдём:

Таким образом, на бесконечно большом удалении от входа в плоскую трубу профиль распределения основной скорости по сечению будет параболическим

Особенности подинтегрального выражения (1.20) совпадают с корнями уравнения

Если обозначить корни уравнения

через то корни уравнения (1.22) будут представляться в виде

Полагая и раскладывая для этого случая подинтегральное выражение (1.20) на простые дроби, получим:

где коэффициенты определяются с помощью следующих равенств:

Подставляя разложение (1.25) в (1.20) и используя формулу

получим следующее выражение для основной скорости частиц жидкости на средней линии плоской трубы:

Составляя отношение разности предельной скорости частиц жидкости на средней линии на бесконечном удалении от входа и скорости

частиц на конечном удалении L от входа к предельной скорости, найдём:

Задавая значение левой части (1.28) и решая полученное уравнение относительно длины L, можно получить приближённое значение длины начального участка плоской трубы, на протяжении которого максимальное значение скорости частиц будет отличаться от своего предельного значения на заданную величину. Полагая, например, значение левой части (1.28) равным

и сохраняя в правой части (1.28) лишь первое слагаемое, получим следующее выражение для длины начального участка плоской трубы:

где R представляет собой число Рейнольдса, определяемое для плоской трубы равенством

а наименьший, отличный от нуля корень уравнения (1.23), равный

Подставляя числовое значение корня в (1.30), получим следующую приближённую формулу для длины начального участка плоской трубы:

Таким образом, длина начального участка пропорциональна числу Рейнольдса и расстоянию между стенками.