§ 3. Проникание пластинки в вязкую среду
Рассмотрим вначале простейший пример использования обобщённых уравнений Стокса.
Рис. 63.
Пусть вязкая несжимаемая среда заполняет полупространство вниз от неподвижной оси (рис. 63). В эту среду с момента 
начинает врезаться тонкая пластинка с постоянной скоростью U. Введём связанные с пластинкой подвижные оси координат, начало которых находится у края пластинки, а положительное направление оси х идёт вверх и совпадает с направлением самой пластинки. Полные уравнения абсолютного движения вязкой жидкости по отношению к подвижным осям представятся в виде (1.3). Отбрасывая в этих уравнениях: 1) квадратичные члены инерции, 2) локальную производную от вектора скорости по времени, 3) вектор массовой силы, получим дифференциальное уравнение в проекции на ось х,
Поскольку движение жидкости вызывается только движением пластинки и на границе среды 
давление постоянно, то можно принять градиент давления вдоль оси х равным нулю, т. е.
Если считать пластинку в направлении оси z достаточно широкой, то можно положить;
В пределах погруженной части пластинки изменение компоненты скорости и в направлении оси у преобладает над изменением этой скорости в продольном направлении за исключением, быть может, только края пластинки. Следовательно, второй производной по х от и можно пренебречь по сравнению со второй производной от и по у. Тогда из (3.1) получим следующее дифференциальное уравнение:
где
Таким образом, дифференциальное уравнение (3.4) было получено с помощью: 1) частичного учёта квадратичных членов инерции (по Озеену) и 2) частичного учёта членов вязкости (по Рейнольдсу).
Примем следующие граничные условия: 1) до подхода края пластинки вся среда пребывает в полном покое, т. е.
(3.6)
2) частицы жидкости прилипают к сторонам пластинки
3) при удалении от пластинки в сторону по оси у скорость уменьшается до нуля, в частности,
Дифференциальное уравнение (3.4) совпадает с дифференциальным уравнением одномерной задачи теплопроводности. Рассматриваемая же задача при условиях (3.6), (3.7) и (3.8) совпадает формально с задачей нагрева полубесконечного стержня с конца. Решение этой задачи имеет вид
Вычисляя силу вязкости на пластинке по формуле
получим:
или, подставляя значение 
из (3.5):
Таким образом, сила вязкости в какой-либо точке на погружаемой в вязкую среду пластинке пропорциональна скорости в степени 8/2 и обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния этой точки от края пластинки.
Обозначим ширину пластинки через b. Умножая обе части равенства (3.11) на 
и интегрируя от нуля до А, где h — длина погружённой части пластинки, получим следующую формулу для сопротивления трения врезанию тонкой пластинки в вязкую среду
Следовательно, сопротивление прониканию тонкой пластинки в вязкую несжимаемую среду зависит не только от скорости проникания U в степени 3/2, но и от глубины проникания h в степени 1/2.
Допустим, что проникание пластинки в вязкую среду происходит благодаря тому, что этой пластинке с весом Р сообщена некоторая начальная скорость 
. Составляя дифференциальное уравнение движения этой пластинки, получим;
Разделяя неременные и проводя интегрирование, будем иметь;
Обозначая предельную глубину проникания пластинки через Я, при которой скорость U обращается в нуль, получим из (3.13) следующую формулу для коэффициента вязкости среды:
Полученной формулой можно пользоваться для экспериментального определения коэффициента вязкости весьма вязких сред с помощью ударного погружения в них тонкой пластинки.
