ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

§ 1. Уравнение неразрывности

Положение фиксированной точки пространства в области, занятой жидкостью, будем определять с помощью криволинейных ортогональных координат Через эту точку проведём три линейных элемента координатных линий равные

Рис. 17.

Рассмотрим параллелепипед, построенный на этих трёх линейных элементах (рис. 17). Компоненты вектора скорости частиц будут представляться в виде

Проконтролируем изменение массы в фиксированном параллелепипеде двумя способами: 1) способом непосредственного подсчёта изменения масс и 2) способом учёта входа и выхода масс через границы.

В момент t масса в фиксированном параллелепипеде

В момент

Следовательно, приращение массы в рассматриваемом параллелепипеде за промежуток времени будет равно

Точками в правой части (1.3) отмечены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости за счёт лишнего множителя в разных степенях.

Теперь проконтролируем вход и выход массы через грани, перпендикулярные к касательным к координатной линии Через переднюю грань, проходящую через точку О с координатами войдёт за промежуток времени масса, равная

Через противоположную грань, проходящую через точку с координатами из параллелепипеда выйдет за тот же промежуток времени масса, равная

Следовательно, внутри параллелепипеда задержится масса, равная

Точками в правой части отмечены те слагаемые, которые имеют, покрайней мере, один лишний множитель Если мы возьмём две грани, перпендикулярные к касательным к координатной линии а затем и перпендикулярные к касательным линиям и проведём аналогичные рассуждения, то для количеств массы, задержавшихся внутри параллелепипеда, получим следующие выражения:

Складывая выражения (1.4) и (1.5), получим то приращение массы внутри параллелепипеда, которое будет иметь место за счёт входа и выхода массы через его границы за промежуток времени

Предполагаем, что внутри параллелепипеда источников нет; тогда изменение массы за счёт изменения плотности, представленное выражением (1.3), и изменение массы (1.6) за счёт входа и выхода её через границы должны быть равны между собой, т. е.

Это уравнение представляет собой уравнение изменения массы в элементарном фиксированном параллелепипеде. Делим обе части равенства (1.7) на произведение

и переходим к пределу, стягивая параллелепипед в точку а промежуток времени к нулю. Тогда все бесконечно малые слагаемые высшего порядка обратятся в нуль, и мы получим уравнение изменения масс в фиксированной точке пространства в криволинейных координатах

которое называется также уравнением неразрывности. Уравнение неразрывности связывает локальное и конвективное изменения плотности жидкости с изменениями скоростей при переходе от одной фиксированной точки к другой.

Рассмотрим случай, когда положение фиксированной точки пространства определяется с помощью обычных декартовых координат х,. В этом случае мы будем иметь:

и уравнение неразрывности (1.8) примет вид

Если жидкость несжимаема (р = const), то уравнение неразрывности (1.9) примет вид

Уравнение (1.10) обычно называется уравнением несжимаемости. Левая часть этого уравнения представляет собой дивергенцию вектора скорости

Так как дивергенция вектора скорости представляет собой предел отношения потока несжимаемой жидкости через бесконечно малую замкнутую поверхность к величине объёма, охватываемого этой поверхностью, то в криволинейных координатах эта дивергенция будет представляться выражением (1.6) с обратным знаком, поделённым

на объём и сокращённым на плотность. Таким образом, для дивергенции вектора скорости в криволинейных координатах получим следующее выражение:

Если существует потенциал скоростей , то

В этом случае дивергенция вектора скорости будет равна дифференциальному оператору Лапласа от потенциала скоростей, т. е.

по аналогии

Формула (1.14) представляет оператор Лапласа в криволинейных координатах.

Произведение плотности на вектор скорости частиц называется вектором плотности потока массы. В таком случае уравнение неразрывности (1.8) связывает локальное изменение плотности с дивергенцией вектора плотности потока массы.