Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Исследование устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростейПусть мы имеем две параллельные стенки на расстоянии h друг от друга. Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться параллельно самой себе со скоростью U и если перепада давлений в направлении течения не будет, то для основного поля ламинарного течения между параллельными стенками будем иметь прямолинейный профиль распределения скоростей по сечению, т. е.
Для исследования устойчивости данного ламинарного течения по методу малых колебаний мы должны обратиться к приближённому дифференциальному уравнению (2.9) для функции тока поля возмущений. Подставляя в это уравнение выражение (3.1) для продольной скорости, получим следующее дифференциальное уравнение с частными производными четвёртого порядка:
Вводя безразмерные независимые величины
представим дифференциальное уравнение (3.2) в виде
Далее, как уже указано в § 1, функцию тока представим в виде
Тогда
и дифференциальное уравнение (3.4) запишется:
Таким образом, задача свелась к решению однородного дифференциального уравнения с обыкновенными производными второго порядка (3.7) и последующего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Если ввести новое независимое комплексное переменное
то дифференциальное уравнение (3.7) преобразуется:
Независимыми решениями этого уравнения будут цилиндрические функции с индексом
Неоднородное дифференциальное уравнение (3.8) можно решить методом вариации произвольного постоянного. Получим два независимых решения:
где
а нижний предел получим общее решение полного уравнения для
На основании (3.5) проекции вектора скорости поля возмущений будут представляться в виде
Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений будут тогда иметь вид
В качестве
Тогда при значении
Отсюда
Обозначим через
Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из (3.14) следующие уравнения:
Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е.
Полученное уравнение (3.19) является трансцендентным характеристическим уравнением поля возмущений, наложенного на поле скоростей основного потока вязкой несжимаемой жидкости. Это уравнение связывает значение числа R основного потока с кинематическими характеристиками Мы ограничимся случаем, когда произведение На основании (3.17) и (3.18) будем иметь:
Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси. Но концы отрезку этой прямой Возьмём в качестве цилиндрических функций (3.11) функции Ханкеля, для которых имеют место следующие асимптотические выражения:
Если положить:
то асимптотические представления (3.21) будут справедливы только для значений аргумента
В рассматриваемом нами случае (3.11) мы имеем:
Следовательно, на плоскости комплексного переменного значений аргумента в пределах
Будем теперь предполагать, что точки
В силу детерминантного характера уравнения (3.19) постоянные множители в (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейшем мы эти постоянные выписывать не будем. Положим
и, считая
При этих предположениях будем иметь из (3.23):
После дифференцирования (3.24) получим:
Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь:
Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.19), получим характеристическое уравнение в виде
После приведения к общему знаменателю характеристическое уравнение примет вид
Введём новое переменное, полагая
тогда будем иметь:
и характеристическое уравнение представится в виде
Таким образом, для случая малых значений Первый множитель в левой части уравнения (3.29) нельзя приравнять нулю, так как при значении
Оба уравнения (3.30) имеют один общий корень
для которого
Таким образом, корню Известным графическим методом можно убедиться в том, что оба уравнения (3.30) для каждого фиксированного значения а будут иметь бесчисленное множество действительных корней. Так как из (3.17) и (3.28) будем иметь:
то каждому действительному корню х будет отвечать чисто мнимое значение Выше было проведено исследование характеристического уравнения (3.19) для случая малых значений Обратимся теперь к применению энергетического метода к исследованию устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей. Как уже было указано в § 2, при примененении энергетического метода исследования устойчивости ламинарного течения вопрос сводится к исследованию интегрального соотношения
где для случая плоско-параллельного течения
Интегрирование в (3.33) проводится по площади, на границе которой проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль. Для случая прямолинейного профиля распределения скоростей имеем
и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее выражение:
Так как левая часть (3.36) и числитель в правой части всегда положительны, то знаменатель должен иметь отрицательное значение, а это значит, что проекции и и v должны в большинстве точек внутри площади S иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например, тогда, когда траектории частиц в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые оси которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис. 98).
Рис. 98. Итак, будем предполагать, что поле возмущений обусловлено наличием эллиптического вихря с центром на средней линии между параллельными стенками, малая ось которого составляет с направлением скорости основного течения угол а. Введём новые оси координат, совпадающие с осями эллиптического вихря. В этих новых осях X и Y проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул преобразования координат будут равны
Используя выражения (3.37), будем иметь:
где а и v обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые оси координат. Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать из кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси X. Пусть этот круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями координат
где Точке с координатами
где
При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмущений будет происходить по эллиптическим траекториям. Подставляя значения
Для вихря поля возмущений будем иметь:
Элемент площади
При интегрировании по полярному углу
Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим:
Так как на границе кругового вихря
Следовательно, равенство (3.47) примет вид
Вводя безразмерную независимую переменную
получим:
На основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования Обозначая отношение интегралов через k, т. е.
и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство для критического числа Рейнольдса:
Таким образом, значение Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей будет заведомо устойчивым, если равенством (3.52), будет иметь наименьшее значение. Следовательно, теперь необходимо установить те значения параметров вихря Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря
Рис. 99. Используя уравнение верхней стенки
можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения радиуса вихря на вспомогательной плоскости:
Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим:
Заметим, что при фиксированном значении в первый множитель в правой части (3.54) принимает наименьшее значение при
Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от значения коэффициента в сжатия кругового вихря. Подставляя значение угла а из (3.55) в (3.54), получим:
Наименьшее значение коэффициента в выражении для
Таким образом, критическое число Рейнольдса будет теперь представляться в виде
Для определения наименьшего значения правой части (3.58) будем варьировать зависимость угловой скорости вихря со от расстояния s таким образом, чтобы вариация от множителя к обращалась в нуль:
Выполняя варьирование под знаками интегралов, будем иметь:
Принимая, что на границе вихря
Если выполнить варьирование дроби в (3.59) и использовать предшествующие равенства, то найдем:
Приравнивая нулю коэффициент при вариации угловой скорости искомой угловой скорости
При подстановке
уравнение (3.62) приводится к известному дифференциальному уравнению для цилиндрических функций
Из двух решений этого уравнения берём именно то, которое остаётся конечным при
Таким образом, зависимость угловой скорости вихря от расстояния представляется через функцию Бесселя первого рода в виде
Чтобы удовлетворить условию обращения в нуль угловой скорости вихря на границе кругового вихря на вспомогательной плоскости, необходимо положить:
Уравнением (3.64) предопределяется выбор значения множителя k. Обозначая наименьший корень функции
Так как из таблиц имеем:
то наименьшее значение критического числа Рейнольдса из (3.58) будет равно
Таким образом, при использовании энергетического метода исследования устойчивости можно придти к выводу, что ламинарное плоско-параллельное течение с прямолинейным профилем распределения скоростей будет заведомо устойчивым, если число R не будет превышать значения 288. Следует, однако, заметить, что полученное с помощью энергетического метода значение критического числа R намного меньше того значения, которое получается косвенным путём на основании некоторых опытов. Это значит, что энергетический метод исследования устойчивости ламинарных течений позволяет определять критическое значение числа Рейнольдса с большим запасом. Различие результатов исследований устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей, проведённых по методу малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, по-видимому, объяснить прежде всего тем, что в первом методе дифференциальные уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда как при энергетическом методе нелинейные слагаемые в уравнениях учитываются.
|
1 |
Оглавление
|