§ 3. Исследование устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей

Пусть мы имеем две параллельные стенки на расстоянии h друг от друга. Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться параллельно самой себе со скоростью U и если перепада давлений в направлении течения не будет, то для основного поля ламинарного течения между параллельными стенками будем иметь прямолинейный профиль распределения скоростей по сечению, т. е.

Для исследования устойчивости данного ламинарного течения по методу малых колебаний мы должны обратиться к приближённому дифференциальному уравнению (2.9) для функции тока поля возмущений. Подставляя в это уравнение выражение (3.1) для продольной скорости, получим следующее дифференциальное уравнение с частными производными четвёртого порядка:

Вводя безразмерные независимые величины

представим дифференциальное уравнение (3.2) в виде

Далее, как уже указано в § 1, функцию тока представим в виде

Тогда

и дифференциальное уравнение (3.4) запишется:

Таким образом, задача свелась к решению однородного дифференциального уравнения с обыкновенными производными второго порядка (3.7) и последующего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Если ввести новое независимое комплексное переменное

то дифференциальное уравнение (3.7) преобразуется:

Независимыми решениями этого уравнения будут цилиндрические функции с индексом т. е.

Неоднородное дифференциальное уравнение (3.8) можно решить методом вариации произвольного постоянного. Получим два независимых решения:

где

а нижний предел представляет собой пока неопределённую комплексную постоянную. Умножая (3.12) на произвольную постоянную и складывая с общим решением однородного уравнения (3.8),

получим общее решение полного уравнения для

На основании (3.5) проекции вектора скорости поля возмущений будут представляться в виде

Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений будут тогда иметь вид

В качестве в (3.12) возьмём значение из (3.9), отвечающее нижней стенке т. е.

Тогда при значении функции из (3.12), а также и их первые производные будут обращаться в нуль. Поэтому первые два условия (3.16) при подстановке выражения (3.14) дадут:

Отсюда

Обозначим через значение z, отвечающее верхней стенке, т. е.

Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из (3.14) следующие уравнения:

Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е.

Полученное уравнение (3.19) является трансцендентным характеристическим уравнением поля возмущений, наложенного на поле скоростей основного потока вязкой несжимаемой жидкости. Это

уравнение связывает значение числа R основного потока с кинематическими характеристиками поля возмущений. При этом значения R и а считаются действительными и заранее заданными, а для величины f) допускаются комплексные и подлежащие определению из уравнения (3.19) значения. Как уже было указано в § 1, для исследования вопроса об устойчивости рассматриваемого основного течения достаточно только установить знак мнимой части множителя из уравнения (3.19). Но и эта ограниченная задача исследования знака мнимой части по характеристическому уравнению (3.19) представляет весьма сложную по своим вычислениям задачу.

Мы ограничимся случаем, когда произведение считается малым и когда представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их асимптотическими выражениями в своей простейшей форме.

На основании (3.17) и (3.18) будем иметь:

Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси. Но концы отрезку этой прямой могут располагаться на плоскости комплексного переменного z в различных местах. От того, в каких четвертях плоскости z будут располагаться точки будет зависеть вид асимптотических выражений цилиндрических функций.

Возьмём в качестве цилиндрических функций (3.11) функции Ханкеля, для которых имеют место следующие асимптотические выражения:

Если положить:

то асимптотические представления (3.21) будут справедливы только для значений аргумента в пределах

В рассматриваемом нами случае (3.11) мы имеем:

Следовательно, на плоскости комплексного переменного асимптотические формулы (3.21) могут быть использованы для

значений аргумента в пределах

Будем теперь предполагать, что точки выбраны в области указанных значений аргумента. Подставляя (3.21) в (3.11), а затем и в (3.12), получим:

В силу детерминантного характера уравнения (3.19) постоянные множители в (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейшем мы эти постоянные выписывать не будем.

Положим

и, считая малым, примем:

При этих предположениях будем иметь из (3.23):

После дифференцирования (3.24) получим:

Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь:

Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.19), получим характеристическое уравнение в виде

После приведения к общему знаменателю характеристическое уравнение примет вид

Введём новое переменное, полагая

тогда будем иметь:

и характеристическое уравнение представится в виде

Таким образом, для случая малых значений и при использовании асимптотических выражений (3.21) решение вопроса об устойчивости прямолинейно-параллельного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей сводится к исследованию корней характеристического уравнения (3.29).

Первый множитель в левой части уравнения (3.29) нельзя приравнять нулю, так как при значении квадратная скобка будет обращаться в бесконечность. Выражение в квадратной скобке (3.29) в свою очередь состоит из двух отдельных множителей; приравнивая нулю эти множители, получим уравнения

Оба уравнения (3.30) имеют один общий корень

для которого

Таким образом, корню будет отвечать стационарное поле возмущений, амплитуды волн которого со временем не будут изменяться, и, следовательно, вопрос об устойчивости основного течения не может быть решён.

Известным графическим методом можно убедиться в том, что оба уравнения (3.30) для каждого фиксированного значения а будут иметь бесчисленное множество действительных корней. Так как из (3.17) и (3.28) будем иметь:

то каждому действительному корню х будет отвечать чисто мнимое значение с положительным коэффициентом при . Следовательно, амплитуда волн поля возмущений, отвечающих действительным корням уравнений (3.30), будет со временем уменьшаться, а поэтому основное поле ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей будет устойчивым по отношению к возмущениям вида (3.5). Таким образом, методом малых колебаний не удаётся обнаружить неустойчивость ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей.

Выше было проведено исследование характеристического уравнения (3.19) для случая малых значений при использовании (3.21). В работе Хопфа проведено исследование этого уравнения при произвольных значениях и при использовании асимптотических формул для других расположений точек Результат этих исследований сводится к тому же заключению о невозможности обнаружения неустойчивости рассматриваемого течения методом малых колебаний.

Обратимся теперь к применению энергетического метода к исследованию устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей.

Как уже было указано в § 2, при примененении энергетического метода исследования устойчивости ламинарного течения вопрос сводится к исследованию интегрального соотношения

где для случая плоско-параллельного течения

Интегрирование в (3.33) проводится по площади, на границе которой проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль.

Для случая прямолинейного профиля распределения скоростей имеем

и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее выражение:

Так как левая часть (3.36) и числитель в правой части всегда положительны, то знаменатель должен иметь отрицательное значение, а это значит, что проекции и и v должны в большинстве точек внутри площади S иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например, тогда, когда траектории частиц в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые оси которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис. 98).

Рис. 98.

Итак, будем предполагать, что поле возмущений обусловлено наличием эллиптического вихря с центром на средней линии между параллельными стенками, малая ось которого составляет с направлением

скорости основного течения угол а. Введём новые оси координат, совпадающие с осями эллиптического вихря. В этих новых осях X и Y проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул преобразования координат будут равны

Используя выражения (3.37), будем иметь:

где а и v обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые оси координат.

Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать из кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси X. Пусть этот круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями координат совпадающими с выбранными осями X и Y. На этой вспомогательной плоскости проекции вектора скорости от вихря будут представляться в виде

где считается непрерывной функцией расстояния от начала координат. При этом на границе кругового вихря угловая скорость обращается в нуль, а в центре вихря остаются конечными.

Точке с координатами на вспомогательной плоскости будет отвечать точка на основной плоскости с координатами

где представляет собой положительную постоянную величину. Будем теперь принимать, что в рассматриваемой точке на основной плоскости проекции вектора скорости поля возмущений равны

При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмущений будет происходить по эллиптическим траекториям.

Подставляя значения из (3.41) в выражение (3.38) для М, получим:

Для вихря поля возмущений будем иметь:

Элемент площади на основной плоскости будет связан с элементом площади на вспомогательной плоскости соотношением

При интегрировании по полярному углу найдём:

Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим:

Так как на границе кругового вихря обращается в нуль, а в центре остаётся конечной, то

Следовательно, равенство (3.47) примет вид

Вводя безразмерную независимую переменную

получим:

На основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования будет меньше единицы.

Обозначая отношение интегралов через k, т. е.

и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство для критического числа Рейнольдса:

Таким образом, значение поставлено в зависимость от размеров вихря b, от вида вихря , от положения большой оси а и от распределения величины угловой скорости вихря по радиусу

Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей будет заведомо устойчивым, если определяемое

равенством (3.52), будет иметь наименьшее значение. Следовательно, теперь необходимо установить те значения параметров вихря , для которых правая часть равенства (3.52) приобретает наименьшее значение.

Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря будет уменьшаться. Однако размеры вихря не могут быть произвольно большими, они должны быть ограничены тем условием, что эллипс с полуосями и b должен касаться стенок и при этом малая ось должна быть наклонена к стенкам под углом а (рис. 99).

Рис. 99.

Используя уравнение верхней стенки

и уравнение эллипса

можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения радиуса вихря на вспомогательной плоскости:

Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим:

Заметим, что при фиксированном значении в первый множитель в правой части (3.54) принимает наименьшее значение при

Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от значения коэффициента в сжатия кругового вихря. Подставляя

значение угла а из (3.55) в (3.54), получим:

Наименьшее значение коэффициента в выражении для равное достигается при

    (3.57)

Таким образом, критическое число Рейнольдса будет теперь представляться в виде

Для определения наименьшего значения правой части (3.58) будем варьировать зависимость угловой скорости вихря со от расстояния s таким образом, чтобы вариация от множителя к обращалась в нуль:

Выполняя варьирование под знаками интегралов, будем иметь:

Принимая, что на границе вихря вариация вихря обращается в нуль, после интегрирования по частям получим:

Если выполнить варьирование дроби в (3.59) и использовать предшествующие равенства, то найдем:

Приравнивая нулю коэффициент при вариации угловой скорости под знаком интеграла, получим дифференциальное уравнение для

искомой угловой скорости

При подстановке

уравнение (3.62) приводится к известному дифференциальному уравнению для цилиндрических функций

Из двух решений этого уравнения берём именно то, которое остаётся конечным при т. е.

Таким образом, зависимость угловой скорости вихря от расстояния представляется через функцию Бесселя первого рода в виде

Чтобы удовлетворить условию обращения в нуль угловой скорости вихря на границе кругового вихря на вспомогательной плоскости, необходимо положить:

Уравнением (3.64) предопределяется выбор значения множителя k. Обозначая наименьший корень функции через будем иметь:

Так как из таблиц имеем:

то наименьшее значение критического числа Рейнольдса из (3.58) будет равно

Таким образом, при использовании энергетического метода исследования устойчивости можно придти к выводу, что ламинарное плоско-параллельное течение с прямолинейным профилем распределения скоростей будет заведомо устойчивым, если число R не будет превышать значения 288. Следует, однако, заметить, что полученное с помощью энергетического метода значение критического числа R намного меньше того значения, которое получается косвенным путём на основании некоторых опытов. Это значит, что энергетический метод исследования устойчивости ламинарных течений

позволяет определять критическое значение числа Рейнольдса с большим запасом.

Различие результатов исследований устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей, проведённых по методу малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, по-видимому, объяснить прежде всего тем, что в первом методе дифференциальные уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда как при энергетическом методе нелинейные слагаемые в уравнениях учитываются.