§ 4. Теоремы о рассеянии энергии для турбулентного движения

Внутри области, занятой жидкостью в турбулентном движении, возьмём конечный объём t с ограничивающей поверхностью S. Для кинетических энергий полного движения, осреднённого движения и пульсационного движения жидкости в конечном объёме будем иметь выражения

Подставляя в правую часть (4.1) выражение квадрата скорости в виде

и проводя затем осреднение по времени, получим:

т. е. осреднённое значение кинетической энергии полного движения жидкости в конечном объёме равно сумме кинетической энергии осреднённого движения жидкости и осреднённого значения кинетической энергии пульсационного движения жидкости в том же объёме.

Элементарная работа массовых сил на перемещениях полного и осреднённого движения жидкости будет представляться соответственно в виде

Для элементарных работ векторов напряжений, распределённых по поверхности S, получим следующие выражения:

В § 2 главы III была доказана теорема о рассеянии энергии

где Е — энергия, которая рассеивается в единице объёма в единицу времени и выражается через напряжения в виде

Разлагая векторы напряжений и скорости в (4.8) на осреднённые и пульсационные значения и вводя обозначения

после осреднения по времени (4.8) получим:

т. е. осреднённое значение энергии, рассеиваемой от напряжений в полном движении жидкости, составляется из энергии, рассеиваемой от осреднённых напряжений в осреднённом движении, и осреднённого значения энергии, рассеиваемой от пульсаций напряжений в пульсационном движении.

Докажем теперь теорему о рассеянии энергии для осреднённого движения жидкости. Для этого первое дифференциальное уравнение (3.8) представим в виде

где производная по времени в левой части равна

Обе части равенства (4.12) умножим скалярно на и проведём интегрирование по объёму

Если считать, что объём будет перемещаться вместе с частицами жидкости, то в левой части (4.14) знак дифференцирования можно вынести за знак интеграла и воспользоваться обозначением (4.2). Представляя векторы напряжений на площадке с нормалью в виде

и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объёмный, получим из (4.6) выражения для элементарных работ

Сопоставляя эти выражения с правой частью (4.14) и используя обозначения (4.5), (4.9), получим:

Равенство (4.15) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии осреднённого движения жидкости, содержащейся в конечном объёме. На основании этого равенства мы приходим к заключению, что не вся работа напряжений, распределённых на поверхности S, идёт на изменение кинетической энергии осреднённого движения жидкости внутри этой поверхности; часть этой работы переходит в энергию пульсационного движения и в теплоту. Выражение под знаком интеграла в последнем слагаемом в правой части (4.15) представляет собой энергию, рассеянную от пульсационных напряжений в единицу времени в единице объёма в осреднённом движении жидкости. Для этой энергии рассеяния введём отдельное обозначение

Введём в рассмотрение элементарную работу пульсаций напряжений на перемещениях в пульсационном движении жидкости, т. е.

Если в правой части первого равенства (4.6) провести разложение вектора напряжения и вектора скорости на осреднённые и пульсационные значения и затем провести осреднение по времени, то получим:

Проведём теперь осреднение обеих частей равенства (4.7) и при этом учтём (4.4), (4.18), (4.11) и то, что

В результате получим следующее равенство:

Это равенство выражает собой теорему об изменении осреднённого значения кинетической, энергии полного движения жидкости в конечном объёме.

Составляя разность соответственных частей равенств (4.19) и (4.15), получим равенство

выражающее собой теорему об изменении осреднённого значения кинетической энергии пульсационного движения жидкости в конечном объёме.

Рассмотрим теперь случай движения жидкости внутри неподвижной поверхности . В этом случае элементарные работы будут обращаться в нули, и поэтому теорема об изменении осредненной кинетической энергии пульсационного движения жидкости представится равенством

Подставляя в правую часть равенства (4.10) значения пульсаций напряжений из (3.14), получим следующее выражение для осреднённого значения энергии рассеяния в пульсационном движении жидкости.

Если развернуть правую часть равенства (4.16), то будем иметь выражение для энергии рассеяния от пульсационных напряжений

Сопоставляя выражения (4.22) и (4.23), мы видим, что энергия рассеяния от вязких напряжений в пульсационном движении всегда положительна, тогда как энергия рассеяния от пульсационных напряжений может быть как положительной, так и отрицательной.

Это возможное различие знаков энергий рассеяния и позволяет сделать некоторые качественные заключения об изменении осреднённой кинетической энергии пульсационного движения внутри неподвижной поверхности на основании равенства (4.21). Во-первых,

если полная энергия рассеяния от пульсационных напряжений во всём объёме будет отрицательной, т. е.

то осреднённая кинетическая энергия пульсационного движения в рассматриваемом объёме будет со временем убывать. Следовательно, для возрастания осреднённой кинетической энергии пульсационного движения необходимо, но ещё недостаточно, чтобы вся энергия рассеяния от пульсационных напряжений во всём объёме оказалась положительной, т. е.

При выполнении необходимого условия (4.24) возрастание осреднённой кинетической энергии пульсационного движения внутри неподвижной поверхности может быть тогда и только тогда, когда отношение полной энергии рассеяния от пульсационных напряжений к полной энергии рассеяния от вязких напряжений будет больше единицы, т. е.

Если обратить внимание на правые части равенств (4.22) и (4.23), то можно заметить, что 1) изменение знака вектора скорости пульсаций на обратный, т. е. замена на , не изменяет величины отношения энергий рассеяния (4.25) и 2) умножение вектора скорости пульсаций во всех точках на постоянный множитель также не изменяет отношения (4.25). Это значит, что знак X нельзя изменить ни изменением знака вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объёма, ни умножением вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объёма на одно и то же число, и если при данном распределении вектора скорости пульсаций в рассматриваемом объёме осреднённая кинетическая энергия пульсационного движения убывала, то увеличением величины вектора скорости пульсаций во всех точках в одно и то же число раз нельзя получить вместо убывания возрастание осреднённой кинетической энергии пульсационного движения жидкости. Совершенно иным образом сказывается на изменении отношения X равномерное изменение вектора скорости осреднённого движения жидкости в конечном объёме с неподвижной поверхностью. Если при данном распределении вектора скорости пульсации и вектора скорости осреднённого движения в объёме будет происходить уменьшение осреднённой энергии пульсационного движения жидкости, то

с помощью увеличения вектора скорости осреднённого движения во всех точках на одно и то же число можно добиться выполнения неравенства (4.25) и, следовательно, вместо убывания получить возрастание осреднённой энергии пульсационного движения жидкости в рассматриваемом объёме. Последнее обстоятельство и служит доказательством того положения, что существует критическое значение скорости осреднённого движения жидкости в конечном объёме с неподвижной поверхностью в том смысле, что возрастание осреднённой кинетической энергии пульсационного движения в этом объёме может происходить только тогда, когда вектор скорости осреднённого движения будет превышать указанное критическое значение.

Однако существование критического значения только для скорости осреднённого движения жидкости ещё не означает, что пульсационное движение совершенно не сказывается на самой возможности перехода от убывания осреднённой кинетической энергии пульсационного движения к её возрастанию. Дело в том, что если распределение вектора скорости осреднённого движения жидкости в объёме с неподвижной поверхностью оставить неизменным, а распределение вектора скорости пульсаций в том же объёме изменять, то на основании вида правой части (4.23) можно заключить, что для одной группы распределений вектора скорости пульсаций неравенство (4.24) может быть выполнено, а для другой — оно не может быть выполнено. Таким образом, существование критической скорости осреднённого движения жидкости в указанном выше смысле возможно только при тех распределениях вектора скорости пульсаций, для которых будет выполнено неравенство (4.24).

Если ввести характерную скорость и характерный размер L, то размерности энергий рассеяния из (4.22) и (4.23) будут:

На основании сказанного выше при выполнении неравенства (4.24) критическая скорость осреднённого движения жидкости должна определяться из следующего равенства:

Вводя в рассмотрение безразмерные энергии рассеяния

число Рейнольдса

и используя (4.26), получим равенство, определяющее критическое значение числа Рейнольдса-.

Полученное равенство (4.28) было использовано в цитированной выше работе Рейнольдса для исследования устойчивости ламинарного течения между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению. Предполагая проекции вектора скорости пульсаций периодическими функциями от координаты, ось которой параллельна скорости осреднённого течения, и принимая некоторые дополнительные допущения при отыскании минимума правой части (4.28), Рейнольдс установил неравенство

За характерный размер в рассматриваемом случае была взята половина расстояния между стенками. Рейнольдс указывает на то, что гидравлический радиус плоской трубы вдвое больше радиуса круглой трубы, и поэтому критическое значение рассматриваемого параметра должно быть вдвое меньше для случая между параллельными стенками, т. е. иметь порядок

Таким образом, найденное расчётным путём значение критического числа Рейнольдса для ламинарного движения между неподвижными параллельными стенками лишь на 40% меньше предполагаемого экспериментального значения.

Заметим, что выражение (4.23) отличается от выражения (2.19) главы XI только множителем и наличием знака осреднения над произведениями проекций вектора скорости пульсаций. Следовательно, поле возмущений, введённое нами в главе XI при исследовании устойчивости ламинарных течений, совпадает в некотором отношении с полем пульсации, которое вводится при изучении турбулентного движения жидкости.