§ 6. Движение жидкости в плоском диффузоре
Плоско-параллельное радиальное движение вязкой жидкости было рассмотрено нами в § 10 главы IV без отбрасывания квадратичных членов инерции. Теперь же мы рассмотрим это движение без учёта квадратичных членов инерции, т. е. на основе бигармонического уравнения.
Рис. 45.
Пусть мы имеем плоский диффузор (рис. 45). Движение жидкости в диффузоре будем предполагать установившимся и строго радиальным, т. е.
Обозначим половину угла раствора диффузора через 
При указанных выше предположениях рассматриваемая задача сводится
с решению бигармонического уравнения
следующих граничных условиях:
где Q представляет собой величину расхода жидкости через каждое сечение диффузора.
На основании предположения (6.1) функция тока 
не будет зависеть от радиуса, поэтому
Таким образом, в рассматриваемом случае бигармоническое уравнение (6.2) сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:
Общее решение дифференциального уравнения (6.4) будет представляться в виде
Обращаясь к граничным условиям (6.3), получим для определения постоянных уравнения
отсюда
Таким образом, функция тока и радиальная скорость будут представляться в виде
Так как
то на основании соотношения (2.9) получим для давления:
Сопоставляя полученные формулы (6.5) и (6.6) с формулами (10.3) и (10.7) главы IV, мы заключаем, что как при сохранении квадратичных членов инерции, так и при их отбрасывании зависимости радиальной скорости и давления при движении жидкости в плоском диффузоре от расстояния 
от вершины диффузора остаются одними и теми же, меняются лишь зависимости этих величин от полярного угла 
. Переход от чисто расходящегося течения к чисто сходящемуся в формулах (6.5) и (6.6) можно осуществить только изменением знака величины расхода Q. Таким образом, при приближённом решении задачи о плоско-параллельном радиальном течении вязкой жидкости принципиальные различия между расходящимся и сходящимся течениями, которые были обнаружены при точном рассмотрении этой задачи в § 10 главы IV, обнаружить уже не удаётся.
Считая угол 
малым и проводя разложение 
с точностью до членов третьей степени включительно, получим для скорости и перепада давления следующие приближённые формулы:
Полагая в этих формулах
получим:
Первая из формул (6,8) представляет собой скорость ламинарного движения жидкости между двумя параллельными неподвижными
стенками. Таким образом, при малых углах раствора плоского диффузора и при условии, что можно пренебрегать квадратичными членами инерции, распределение радиальных скоростей по круговому сечению будет весьма близко к параболическому. Формула же (6.8) для перепада давления указывает на то, что при почти параболическом распределении радиальной скорости по круговому сечению в плоском диффузоре давление всё же будет изменяться не только от сечения к сечению, как это имеет место при движении между параллельными стенками, но и вдоль самого сечения.
