§ 6. Установившееся турбулентное движение жидкости в плоской и круглой цилиндрической трубе

Как уже указывалось выше, наиболее полно экспериментально изучено установившееся турбулентное движение несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе. Именно для этого случая было получено большое количество экспериментальных данных о распределении скоростей по сечению трубы и о зависимости коэффициента сопротивления трубы от числа Рейнольдса. Многочисленные экспериментальные данные, разнообразные по своему характеру, удалось рационально обработать и привести в определённую, связь с помощью привлечения теории подобия и рассмотренных выше полуэмпирических теорий турбулентности. В этом отношении полуэмпирические теории турбулентности сыграли и продолжают играть большую роль. Но при этом оказалось, что для рациональной обработки экспериментальных данных и для получения чисто расчётным путём каких-либо новых данных достаточно было использовать формулу Прандтля (5.12) для турбулентного трения и формулу Кармана (5.26) для линейного масштаба полей пульсаций; рассмотрение самих скоростей пульсаций в этом случае не понадобилось. Результаты такой обработки экспериментальных данных о турбулентном движении жидкости в трубах полнее всего представлены в статье И. Никурадзе, из которой мы заимствуем приведённые ниже графики.

Прежде всего были обработаны экспериментальные данные о распределении скоростей вблизи неподвижной стенки трубы. При этой обработке была использована гипотеза Прандтля о том, что скорость вблизи стенки зависит прежде всего от значений физических постоянных, к которым относятся, помимо коэффициента вязкости , плотности , ещё касательное напряжение на самой стенке . Из последних двух величин можно составить выражение для динамической скорости

Вводим теперь в рассмотрение безразмерную скорость в виде отношения скорости осреднённого движения U к динамической скорости, т. е.

Отношение кинематического коэффициента вязкости к динамической скорости будет иметь размерность длины, поэтому можно ввести безразмерное расстояние от стенки в виде

Зависимость безразмерной скорости (6.2) от безразмерного расстояния (6.3)

будет представлять собой так называемое универсальное распределение скоростей по сечению трубы в том смысле, что эта зависимость должна оставаться одной и той же для разных несжимаемых жидкостей, имеющих разные коэффициенты вязкости и плотности.

Рис. 103.

Если по оси абсцисс откладывать десятичные логарифмы от безразмерного расстояния, а по оси ординат — безразмерные скорости, то данные различных опытов будут располагаться вблизи прямой, уравнение которой (рис. 103) представляется в виде

На этом графике пунктирная кривая отвечает закону Блазиуса, согласно которому скорость пропорциональна расстоянию от стенки

в степени Следует заметить, что сама гипотеза Прандтля принималась по отношению к распределению скоростей вблизи стенки, тем не менее, опытные данные о величинах скоростей вблизи оси трубы дают точки, мало отклоняющиеся от прямой (6.5).

Для области ламинарного режима зависимость (6.4) будет иметь

Зависимость (6.6) оправдывается экспериментальными данными только до значений

При рассмотрении установившегося турбулентного движения несжимаемой жидкости в плоской трубе в предшествующем параграфе логарифмический профиль распределения скоростей был установлен в предположении, что касательное напряжение всюду постоянно и что путь перемешивания зависит линейно от расстояния от стенки. Однако тот же профиль распределения скоростей можно получить и не прибегая к указанным специфическим предположениям, а воспользовавшись основными соотношениями для турбулентного трения и для линейного масштаба полей пульсаций. В самом деле, составляя уравнение равновесия сил осреднённого давления и турбулентного трения на элементарный объём жидкости, можно получить уравнение

Если считать, что перепад осреднённого давления не зависит от расстояния у от стенки, то после интегрирования уравнения (6.7) получим линейный профиль распределения турбулентного трения по сечению трубы

где h — расстояние от стенки средней линии, на которой трение считается равным нулю, а — значение трения на самой стенке. Используя теперь выражение (5.12) для турбулентного трения и равенство (5.26) для линейного масштаба полей пульсаций, получим:

Отсюда будем иметь дифференциальное уравнение для определения распределения скоростей по сечению плоской трубы

Знак минус в формулах для I и (6.9) взят из того условия, что при Выполняя интегрирование в (6.9), получим:

Постоянную интегрирования определим при помощи следующих рассуждений. Для достаточно больших значений числа Рейнольдса производная U вблизи стенки имеет достаточно большое значение, мало отличающееся от значения, отвечающего ламинарному трению при условии, что коэффициент вязкости и. имеет весьма малое значение. На этом основании можно считать, конечно с некоторой погрешностью, что на стенке производная U обращается в бесконечность. При таком предположении постоянная С будет равна

и для производной U получим:

Проводя интегрирование (6.10) и определяя постоянную интегрирования из условия задания максимального значения скорости на средней линии, получим следующую формулу для профиля распределения скоростей осреднённого течения в плоской трубе:

На рис. 104 представлена кривая распределения скоростей (6.11) при и отмечены те точки, которые получены на основании экспериментов Никурадзе в круглой цилиндрической трубе. Как видно из рисунка, опытные точки располагаются достаточно близко к кривой распределения скоростей в плоской трубе для широкого интервала значений чисел Рейнольдса от до .

Если перейти к непосредственному рассмотрению установившегося осреднённого турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе, то вместо уравнения равновесия (6.7) мы должны использовать уравнение равновесия сил давления и турбулентного трения, приложенных к кольцевому цилиндру с внутренним радиусом , внешним и длиной т. е. уравнение

Если и в этом случае предположить, что перепад осредненного давления не зависит от расстояния от оси трубы, то уравнение (6.12) можно проинтегрировать по переменному получим:

Так как на оси трубы турбулентное трение должно обращаться в нуль, то постоянную С необходимо положить равной нулю. Если радиус трубы обозначить через а, то сила трения вблизи стенки будет равна

Вводя расстояние от стенки у, полагая

и используя выражение (6.13), получим, как и в случае плоской трубы, формулу линейного распределения турбулентного трения по сечению

Рис. 104.

Следовательно, если пользоваться равенством (5.12) для турбулентного трения и равенством (5.26) для характерной длины l, то последующие вычисления будут совпадать с вычислениями, проведёнными выше для случая плоской трубы, и для распределения скоростей можно получить формулу (6.11) с заменой h через радиус трубы а. Если же не пользоваться формулой (5.26), а предполагать, что путь перемешивания I удовлетворяет соотношению

где функция для малых значений аргумента близка к единице, то при использовании (5.12) и (6.14) получим:

Подставляя (6.15), будем иметь:

После интегрирования получим следующую формулу для распределения скоростей по сечению круглой трубы:

где функция будет одной и той же для всех гладких труб.

Отдельные значения этой функции по данным экспериментов Никурадзе при различных значениях числа Рейнольдса представлены на рис. 104 кружочками и через них проведена пунктирная кривая. Как видно из рисунка, пунктирная кривая отходит от сплошной кривой, отвечающей логарифмическому распределению скоростей (6.11) при лишь вблизи самой стенки.

Теперь перейдём к вопросу о сопротивлении трубы при турбулентном движении жидкости. Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть вопрос о трении вблизи стенки с учётом того, что вблизи самой стенки проявляется влияние вязкости, тогда как в расчётах по распределению скоростей влияние вязкости не учитывалось.

Если учесть влияние вязкости, то всё распределение скоростей по сечению трубы следует разбить на две области: 1) ядро течения, в котором поток является чисто турбулентным с распределением скоростей (6.11), и 2) ламинарный подслой, в котором влияние вязкости является преобладающим. Следовательно, путь перемешивания, или характерный масштаб I, можно использовать только для ядра течения, и поэтому, например, формулу линейной зависимости этого масштаба от расстояния от стенки можно применять только к области ядра течения, т. е. начиная с расстояния, равного толщине подслоя о. Таким образом, наименьшее значение характерного масштаба будет представляться в виде

Если предположить, что толщина подслоя о зависит только от физических величин , то, используя метод размерностей, можно положить:

где а — безразмерная постоянная, не зависящая от числа Рейнольдса. Так как внутри подслоя сила трения определяется по

гипотезе Ньютона в виде

и при этом её можно считать постоянной, то на границе подслоя скорость будет представляться в виде

Если в равенстве (6.16) провести интегрирование в пределах от о до у и учесть, что при скорость U равна то получим:

    (6.20)

Так как возрастание скорости в ядре течения происходит преимущественно на сравнительно малых расстояниях от стенки, то под знаком интеграла (6.20) можно положить:

Тогда после интегрирования получим уточнённую формулу логарифмического распределения скоростей с учётом влияния вязкости

Формула (6.21) совпадает с формулой (6.5), полученной на основании обработки экспериментальных данных. Следовательно, постоянные, входящие в (6.21), будут иметь следующие значения:

Отсюда получим:

Полагая в и переходя к десятичным логарифмам, получим следующее выражение для максимальной скорости турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе:

В § 5 главы IV коэффициент сопротивления цилиндрической трубы определялся в виде отношения

Подставляя в правую часть (6.24) значение перепада давления из (6.13) и заменяя турбулентное трение через динамическую скорость, получим коэффициент сопротивления трубы через отношение квадрата динамической скорости к квадрату средней скорости в виде

Если ввести коэффициент сопротивления, трубы через максимальную скорость, т. е. положить

и подставить отношение

в (6.23), то получим зависимость коэффициента сопротивления трубы от числа Рейнольдса

в виде

График этой линейной зависимости от представлен на рис. 105.

Рис. 105.

Данные экспериментальных измерений при различных значениях числа Рейнольдса (6.27) располагаются вблизи двух

прямых линий 1 и 2. Для первой прямой постоянные множители в (6.28) имеют значения: а для второй: причём первая прямая проведена через те опытные точки, которые отвечают течениям с наименьшим влиянием вязкости, и поэтому эту прямую можно экстраполировать и на весьма большие значения числа Рейнольдса. Вторая прямая проведена с учётом опытных точек, относящихся к области средних значений числа Рейнольдса.

В работе Никурадзе указывается на то, что при весьма больших значениях числа Рейнольдса можно пользоваться следующей зависимостью коэффициента сопротивления трубы к от числа

Рис. 106.

График этой зависимости представлен на рис. 106, на котором пунктиром нанесена и кривая, отвечающая применяемой в гидравлике формуле Блазиуса

Все то, что говорилось выше о движении жидкости в трубах, справедливо без учёта влияния шероховатости. Влиянию шероховатости на зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса было посвящено большое количество экспериментальных работ. На рис. 107 приведены графики зависимости от с учётом различных значений отношения относительной шероховатости к числу Рейнольдса.

Рис. 107.

Под относительной шероховатостью поверхности трубы понимается отношение высоты бугра шероховатости к радиусу трубы в предположении, что все бугры шероховатости имеют примерно одинаковые высоты и одинаковые очертания. Проведённые оценки влияния шероховатости показывают, что этим влиянием можно пренебречь, если отношение высоты бугра шероховатости k к толщине ламинарного подслоя меньше 0,25.