ГЛАВА III. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. О невозможности безвихревого движения вязкой жидкости
Если предположить, что силы, отнесённые к единице массы жидкости, имеют силовую функцию U, т. е.
и провести преобразование левых частей дифференциальных уравнений (8.1) главы II, пользуясь выражениями (5.5) главы I для проекций вектора-вихря частицы, то получим дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в форме Громеки — Ламба
Посмотрим, что произойдет с уравнениями (1.1), если предположить, что проекции вектора-вихря в некоторой конечной области обращаются в нуль, т. е.
При таком предположении движение жидкости в этой области будет потенциальным, т. е. проекции вектора скорости частиц жидкости будут представляться через потенциал скоростей в виде
Подставляя выражения (1.3) в четвёртое уравнение (1.1), получим для потенциала скоростей дифференциальное уравнение Лапласа
В силу соотношений (1.3) и (1.4) будем иметь:
и аналогично для 
Таким образом, слагаемые, обусловленные наличием в жидкости вязкости, из уравнений (1.1) будут совершенно выпадать, а на основании оставшихся слагаемых получим интеграл Лагранжа — Коши, т. е.
Итак, принимая предположение (1.2) об отсутствии вихрей в какой-либо области, мы получаем соотношения (1.3), (1.4) и (1.5), которые имеют место как раз для движения идеальной несжимаемой жидкости в этой области при отсутствии вихрей, т. е. распределение скоростей и давлений в той области, где движение вязкой и несжимаемой жидкости предполагается безвихревым, не будет зависеть от коэффициента вязкости. Если бы при этих условиях можно было удовлетворить граничному условию прилипания к твердым стенкам, то вопрос о возможности безвихревого движения вязкой несжимаемой жидкости решался бы положительно. Но легко убедиться в том, что решения, отвечающие потенциальному движению идеальной жидкости, не удовлетворяют в то же время условию прилипания частиц к границам, за исключением особых случаев. К таким особым случаям относится, например, чисто циркуляционное течение идеальной жидкости вокруг круглого цилиндра, в котором все линии тока будут окружностями, охватывающими заданный контур круга. В идеальной жидкости все точки контура неподвижны, и имеет место скольжение частиц жидкости вдоль контура с одной и той же скоростью. Для случая вязкой несжимаемой жидкости надо предположить, что цилиндр вращается.
Если исключить из рассмотрения указанные выше особые случаи, то мы должны придти к тому выводу, что предположение о потенциальности движения вязкой несжимаемой жидкости несовместимо с самим явлением вязкости. Иначе говоря, всякое движение вязкой несжимаемой жидкости будет движением вихревым.
