§ 4. Сдавливание слоя параллельными плоскостями

Простейшим примером, в котором может быть использовано дифференциальное уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит задача о сдавливании слоя параллельными плоскостями.

Рис. 53.

Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же, но произвольную форму (рис. 53). Допустим, что между пластинками находится какое-то вязкое вещество. Нижняя пластинка пусть будет неподвижной, а верхняя пусть перемещается поступательно в направлении к нижней; тогда находящееся между пластинками вязкое вещество будет выдавливаться в стороны.

Для применения к рассматриваемой задаче дифференциального уравнения (3.9) необходимо: 1) считать толщину А не зависящей от координат положить равными нулю и 3) изменить

знак скорости на обратный. В результате этих предположений получим для давления следующее дифференциальное уравнение Пуассона:

На контуре 7, ограничивающем рассматриваемые пластинки в плоскости давление необходимо считать постоянным, т. е.

Сопоставляя постановку рассматриваемой задачи о сдавливании тонкого слоя вязкого вещества с постановкой задачи о прямолинейнопараллельном течейии вязкой несжимаемой жидкости, изложенной в § 1 главы IV, мы видим их полное формальное сходство. Следовательно, и для решения задачи о сдавливании слоя вязкого вещества в порядке аналогии можно привлекать те методы, которые используются для решения задачи о вращении идеальной жидкости и кручении призматического бруса.

В качестве примера рассмотрим пластинки эллиптической формы. Уравнение ограничивающего контура у будет, следовательно, представляться в виде

Будем искать решение уравнения Пуассона 4.1) в виде

где A ,t В — произвольные постоянные. Подставляя это выражение для давления в уравнение (4.1), получим:

Используя граничное условие (4.2) и уравнение (4.3) контура, получим:

Таким образом, решение рассматриваемой задачи о сдавливании слоя вязкого вещества эллиптическими пластинками будет представляться в виде

Полагая в этом решении

получим решение задачи о сдавливании слоя вязкого вещества круговыми пластинками

На основании (4.5) заключаем, что давление в слое под круговой пластинкой будет распределяться по параболическому закону.

Умножая левую и правую части (4.5) на площадь элементарного кольца и проводя интегрирование по всей площади круга, получим следующую формулу для результирующего сопротивления сжатию круговой пластинкой слоя вязкого вещества:

таким образом, сопротивление слоя вязкого вещества пропорционально коэффициенту вязкости, скорости сжатия в первой степени, радиусу пластинки в четвёртой степени и обратно пропорционально кубу толщины слоя.

Допустим, что перемещение верхней горизонтальной пластинки происходит под действием веса некоторого груза и веса самой пластинки. Обозначая общий вес через Q и полагая

будем иметь следующее дифференциальное уравнение прямолинейного движения нагруженной пластинки:

Интегрируя уравнение (4.7) один раз, получим:

определим из начального условия:

Тогда для скорости перемещения нагруженной пластинки получим выражение

Если предполагать скорость перемещения нагруженной пластинки малой, то из последнего уравнения (4.8) получим следующую формулу зависимости времени сжатия слоя от переменной его толщины:

Формулой (4.9) можно пользоваться для приближённого определения коэффициента вязкости, сильно вязких веществ. Подвергая такое вещество сжатию под фиксированной нагрузкой Q между круглыми пластинками и определяя необходимое время для изменения толщины слоя от до какого-то значения , мы можем затем вычислить по формуле (4.9) коэффициент вязкости этого вещества.