§ 10. Движение шара в неограниченной вязкой жидкости

Если пренебрегать квадратичными членами инерции, не учитывать действие массовых сил и считать движение частиц осесимметричным, то дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (6.10) и (6.11) главы II в сферических координатах представятся в виде

На основании первого уравнения (10.1) можно ввести функцию тока осесимметричного движения жидкости, полагая

Используя обозначение оператора Стокса

последние два уравнения (10.1) можно представить в виде

Исключая из уравнения (10.4) давление, получим для функции тока следующее дифференциальное уравнение с частными производными четвёртого порядка:

Полученное дифференциальное уравнение (10.5) применим к задаче о неустановившемся движении шара в неограниченной вязкой жидкости.

Рис. 89.

Пусть шар радиуса а движется с постоянной скоростью параллельно положительному направлению оси z в неограниченной вязкой несжимаемой жидкости (рис. 89). Граничные условия прилипания частиц жидкости к поверхности шара будут представляться в виде

К граничным условиям (10.6) необходимо присоединить условие отсутствия движения частиц жидкости на бесконечности:

Что касается начального условия в рассматриваемой задаче, то его пока формулировать не будем.

Вид граничных условий (10.6) даёт некоторое основание к тому, чтобы искать функцию тока в виде произведения квадрата синуса

на неизвестную функцию от радиуса и времени, т. е.

При таком предположении дифференциальное уравнение (10.5) и граничные условия (10.6) и (10.7) представятся в виде

К данной задаче применим метод преобразования Лапласа. Вводя обозначение

    (10.11)

и проводя преобразование Лапласа над уравнением (10.9) и граничными условиями (10.10), получим:

Пользуясь неопределенностью начальных условий, потребуем, чтобы первое слагаемое (10.12) обращалось в нуль, тогда дифференциальное уравнение (10.12) запишется

Если ввести обозначение

то дифференциальное уравнение (10.14) представится в виде

Общее решение этого последнего уравнения будет иметь вид

Таким образом, для изображения F будем иметь следующее неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Проверкой можно убедиться, что частным решением уравнения (10.16) с правой частью будет выражение

С помощью подстановки

однородное уравнение для F можно привести к уравнению Бесселя

Решение этого уравнения представляется через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения (10.16) будет:

Чтобы удовлетворить условию (10.13) на бесконечности, необходимо постоянные А и С. приравнять нулю. Функция представляется в виде

Следовательно, решение (10.18) будет теперь:

Используя граничные условия (10.13) на самой поверхности шара, получим уравнения для определения постоянных

откуда получим:

Таким образом, решение уравнения (10.16), удовлетворяющее всем граничным условиям, будет иметь вид

Проводя обращение преобразования Лапласа (10.11), получим:

В теории операционного исчисления доказывается, что асимптотическое значение оригинала при бесконечно больших значениях независимого переменного можно получить с помощью разложения самого изображения в окрестности той особой точки на плоскости комплексного параметра преобразования , для которой действительная часть этого параметра имеет наибольшее значение. В рассматриваемом нами случае такой особой точкой изображения (10.19) служит точка, для которой Если показательный множитель (10.19) представить в виде

то из (10.19) будем иметь:

Учитывая (10.8), получим для функции тока при бесконечно больших значениях времени следующее выражение:

    (10.22)

Правая часть (10.22) совпадает с правой частью (6.12) главы V. Таким образом, полученное решение (10.20) при возрастании времени

до бесконечности вырождается в решение задачи Стокса об установившемся движении шара в неограниченной вязкой жидкости.

При проведении решения задачи о движении шара мы не сформулировали точно начальное условие. Начальное распределение скоростей мы можем получить из самого решения (10.20). Для этого достаточно найти выражение для изображения при стремлении параметра преобразования к бесконечности. Полагая в (10.21) и учитывая (10.8), получим следующее выражение функции тока для начального момента времени:

    (10.23)

Правая часть (10.23) представляет собой выражение для функции тока при движении шара в идеальной жидкости. Следовательно, установленное выше решение (10.20) имеет место при том начальном условии, что распределение скоростей в момент начала движения совпадает с распределением скоростей при движении шара в неограниченной идеальной жидкости.

Заметим, что дифференциальное уравнение (10.5) можно представить в двух эквивалентных формулах:

Поэтому решение уравнения (10.5) можно в ряде случаев искать в виде суммы двух функций:

    (10-24)

из которых первая является решением дифференциального уравнения параболического типа

    (10.25)

а вторая представляет собой решение уравнения эллиптического типа

    (10.26)

Построенное нами решение (10.18) как раз и представляет сумму двух изображений:

Для первого из этих изображений оригиналом будет функция с которой решение уравнения (10.25) связано зависимостью

а для второго — оригиналом будет функция , через которую решение уравнения (10.26) представляется в виде

Учитывая (10.24), (10.25) и (10.26), для оператора Стокса от функции тока , будем иметь:

    (10.27)

Обратимся теперь к вычислению давления в произвольной точке и к определению результирующего воздействия вязкой жидкости на шар.

Подставляя выражения (10.24) и (10.27) во второе равенство (10.4), получим:

или

После интегрирования обеих частей этого равенства по углу 6 будем иметь:

    (10.28)

Подстановкой выражения (10.28) в первое равенство (10.4) можно убедиться в том, что С может представлять собой лишь произвольную функцию от времени.

На основании (10.19) можно заключить, что изображение функции имеет вид

По виду правой части (10.29) легко установить выражение самого оригинала

    (10.30)

Подставляя (10.30) в (10.28), получим следующее выражение для давления в произвольной точке вязкой жидкости:

    (10.31)

Для сопротивления шара мы можем использовать общую интегральную формулу (4.16) главы III, которая в нашем случае принимает вид

    (10.32)

где w — составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии. Используя выражения (10.2) и граничные условия (10.6), получим:

На основании уравнений (10.25) и (10.26) буцем иметь:

    (10.34)

Используя первое граничное условие (10.10), получим:

Так как это равенство справедливо для любого момента времени, то его можно дифференцировать по времени, т. е.

Подставляя (10.35) и (10.36) в (10.34) и (10.33), найдём:

Используя теперь выражение (10.30), будем иметь:

С помощью равенства (10.31) и (10.37) подинтегральное выражение в (10.32) будет представляться в виде

Подставляя это выражение в (10.32) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для результирующего воздействия неограниченной вязкой жидкости на шар, движущийся прямолинейно и равномерно:

    (10.38)

При возрастании времени до бесконечности правая часть (10.38) будет совпадать с правой частью формулы сопротивления шара при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости, установленной в главе V.

Если шар будет перемещаться не с постоянной скоростью, а с переменной, то решение задачи можно получить с помощью применения формулы Дюгамеля (1.12) к правой части (10.20). В частности, для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на шар при его неравномерном поступательном движении мы получим следующую формулу:

    (10.39)