§ 8. Вращение шара в вязкой жидкости
Приближенные дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах согласно соотношениям (7.1) главы IV будут представляться в виде
Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами на оси 
, т. е.
При этом предположении из уравнения несжимаемости (8.1) будем иметь
Если считать давление, 
не зависящим от 
, то для единственной компоненты скорости получим из (8.1) следующее дифференциальное уравнение:
Рис. 49.
Учитывая выражение (6.12) главы II оператора Лапласа в сферических координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в виде
Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с постоянной угловой скоростью и вокруг оси z (рис. 49). Напишем условие прилипания частиц жидкости к поверхности шара:
Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости обращается в нуль:
Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение дифференциального уравнения (8.5) в виде
Подставляя значение 
из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
Решение этого уравнения представляется в виде
Для удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо положить:
Используя граничное условие прилипания (8.6), получим:
Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шара в неограниченной вязкой жидкости будет представляться в виде
На основании (6.9) главы II и предположений (8.2) и (8.3) для касательных компонент напряжения будем иметь:
Подставляя значение 
из (8.10), получим:
(8.11)
Для вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для 
умножить на элемент поверхности 
и на плечо относительно оси 
и проинтегрировать по всей поверхности шара. В результате мы получим:
Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неограниченной вязкой жидкости на основе приближённых уравнений, без учёта квадратичных членов инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой степени угловой скорости вращения.
