§ 2. Уравнение переноса количества движения

Теорему об изменении количества движения в фиксированном объёме можно сформулировать следующим образом:

Количество движения в фиксированном объёме изменяется за счёт: 1) входа и выхода масс через границы объёма, 2) действия импульса внешних массовых сил и 3) действия импульса поверхностных сил напряжений.

Проведём подсчёт изменений количества движения в фиксированном параллелепипеде с длинами рёбер (рис. 18).

Рис. 18.

Обозначим через F вектор силы, отнесённый к единице массы жидкости, а через — векторы напряжений на площадках, перпендикулярных к касательным к координатным линиям и проходящих через точку Знаки минусы в индексах означают, что нормали к этим площадкам направлены против положительных направлений координатных линий. В этом случае можно положить:

В момент t масса, заключённая в параллелепипеде, имеет вектор количества движения, равный

в момент же вектор количества движения в рассматриваемом параллелепипеде будет равен

Следовательно, приращение вектора количества движения в фиксированном параллелепипеде будет равно

Теперь проконтролируем изменение количества движения за счёт входа и выхода масс.

Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии входящая масса внесёт с собой в параллелепипед вектор количеств движения

Через противоположную грань из параллелепипеда выйдет масса со следующим вектором количеств движения:

Следовательно, внутри параллелепипеда задержится вектор количеств движения, равный

Проводя аналогичные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям получим:

Складывая выражения (2.2) и (2.3), получим приращение вектора количеств движения за счёт входа и выхода массы через границы параллелепипеда

Подсчитаем изменение количества движения за счёт действия сил. Приращение количества движения массы в параллелепипеде за счёт действия объёмной силы F будет равно элементарному импульсу этой силы, т. е.

На грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии действует импульс от вектора напряжения, равный

На противоположную грань с нормалью, направленной в положительную сторону координатной линии, будет действовать импульс, равный

Следовательно, результирующий импульс от этих двух импульсов будет равен

Проводя аналогичные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям получим:

Складывая выражения (2.6) и (2.7), получим то приращение количества движения внутри фиксированного параллелепипеда, которое обусловлено действием векторов напряжений по граням:

Других источников изменения количеств движения внутри фиксированного параллелепипеда нет. Поэтому изменение количества движения, представленное выражением (2.1), мы должны приравнять сумме отдельных приращений (2.4), (2.5) и (2.8):

Уравнение (2.9) представляет собой уравнение изменения количества движения в элементарномфиксированном параллелепипеде. Обе части равенства (2.9) разделим на

и перейдём к пределу, стягивая параллелепипед в точку а промежуток времени уменьшая до нуля. Тогда невыписанные члены высшего порядка малости, отмеченные точками, обратятся в нуль, и мы получим уравнение изменения количества движения в фиксированной точке пространства

Сопоставим выражения (1.6) § 1 с выражением (2.4). Если в выражении (1.6) § 1 под знаки производных по обобщённым координатам входили проекции вектора плотности потока самой массы, умноженные на произведения параметров Ляме, то в выражении (2.4) под знаки этих производных входит три вектора: представляющие собой векторы количеств движения, переносимые массой через площадки, перпендикулярные к координатным линиям. Эти три вектора образуют симметричный тензор, который можно назвать тензором плотности потока количеств движения частиц жидкости. Уравнение (2.10) можно назвать также уравнением переноса количеств движения. Это уравнение было впервые введено в рассмотрение Максвеллом в созданной им кинетической теории газов.

Обращаясь к уравнению (2.10), мы видим, что локальное изменение вектора плотности потока самой массы обусловлено не только действием объёмной силы F, но и действием векторов напряжения и векторов переносимого количества движения При этом действие последних векторов проявляется с формальной стороны так же, как и действие векторов напряжений, взятых с обратным знаком. На этом основании эти векторы можно объединить, полагая

Эти три вектора образуют тензор, который называется тензором плотности потока импульсов. Вводя три вектора

уравнение (2.10) можно представить в виде

Для случая обычных прямолинейных координат х, у, z уравнение переноса количества движения (2.10) представится следующим образом: