§ 8. Элементарная гидродинамическая аналогия прокатки

При прокатке раскалённого металла происходят явления течения, которые в некотором отношении будут аналогичны явлениям течения очень вязкой жидкости. На эту аналогию впервые обратил внимание И. В. Мещерский. Приближённое решение соответственной гидродинамической задачи было дано в монографии С. М. Тарга. Это

решение строится с помощью приближённых уравнений Рейнольдса для слоя.

Пусть два цилиндрических валка равных радиусов R вращаются в разные стороны с постоянной угловой скоростью . Между поверхностями этих валков располагается прокатываемая полоса, имеющая до прокатки толщину а после прокатки (рис. 59). Переменная толщина полосы между валками будет представляться уравнением

Рис. 59.

В силу наличия симметрии относительно оси х будем рассматривать только верхнюю половину слоя. Обозначая через а длину слоя под валками и принимая условие прилипания частиц металла к поверхностям валков, будем иметь граничные условия в виде:

Решая первое уравнение (7.1) и удовлетворяя граничным условиям (8.2) для и, получим:

Из уравнения неразрывности, учитывая граничные условия (8.2) для будем иметь:

откуда

Если в последнее равенство подставить а из (8.3) и использовать граничные условия (8.2) для давления, то найдём:

Полагая

получим из (8.4) следующие приближённые равенства:

Пусть - количество вещества, проходящее за единицу времени через сечение — количество вещества, которое прошло бы через это сечение за то же время, если бы все частицы двигались со скоростью, равной окружной скорости валков. Тогда опережением при прокатке называется величина к, определяемая следующим отношением:

В рассматриваемом случае будем иметь:

Если ввести обозначения

и подставить значение из (8.5) и (8.3), то получим:

Следовательно, опережение будет равно параметру представляемому последней формулой (8.7).

Раскладывая в ряд и ограничиваясь в разложении первыми тремя членами, получим для опережения приближённую формулу

При прокатке горячего металла при температурах 700—900° рпытные значения опережения при лежат в пределах

На основании же формулы (9.8) получаются следующие результаты:

Таким образом, формула (8.8) даёт несколько завышенные результаты, но по своему порядку эти результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными.

Характер распределения давлений, даваемый формулой (8.5), также удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными.

На основании этих результатов сравнения теории и опыта можно придти к тому заключению, что в ряде случаев обработки горячего металла давлением можно для решения отдельных вопросов пользоваться аналогией с соответственной задачей течения очень вязкой жидкости.