§ 7. Начальные и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости

Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости необходимо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2) и (6.4) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необходимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться известным всё движение жидкости для какого-либо фиксированного момента времени, например для начального момента

Для этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и давлений, т. е.

    (7.1)

где — заданные функции координат.

Во многих случаях на искомые функции u, v, w и накладываются ограничения, вытекающие из существа самих задач, не только в отношении однозначности, но и в отношении ограниченности их значений. Эти требования однозначности и ограниченности искомых функций играют роль своего рода краевых условий, так как они позволяют исключать из решений произвольные функции, вносящие неоднозначность в распределение скоростей и давлений либо обращающие их в бесконечность.

К простейшим граничным условиям относятся: 1) условия на твёрдых недеформируемых стенках, вообще говоря, подвижных и 2) условия на деформирующихся поверхностях раздела, отделяющих две несмешивающиеся жидкости.

При обтекании вязкой несжимаемой жидкостью твёрдых стенок должно выполняться следующее кинематическое условие: частицы не могут проникать через твёрдые стенки и отрываться от них. Это кинематическое условие будет выполнено, если существует равенство проекций на нормаль к поверхности стенки векторов скоростей частиц жидкости и соответственных точек твёрдой стенки, т. е.

Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости, для которой дифференциальные уравнения содержали лишь частные производные от скоростей и, v и w первого порядка. Для изучения же движения вязкой жидкости одного условия (7.2) будет недостаточно не только с физической точки зрения, но и с формальной, так как порядок дифференциальных уравнений повысился. К кинематическому условию (7.2) необходимо присоединить ещё и динамическое условие. Коль скоро мы допустили, что частицы вязкой жидкости взаимодействуют друг с другом не только давлением, но и с помощью внутреннего трения, то с тем же основанием мы должны предположить и наличие касательного взаимодействия частиц жидкости с точками стенки. Это касательное взаимодействие частиц жидкости с точками стенки будет представлять собой внешнее трение жидкости. Силу внешнего трения, приходящуюся на единицу площади, принято считать пропорциональной разности касательных скоростей частиц жидкости и точек стенки, т. е.

где X — коэффициент внешнего трения, - касательное напряжение, вычисляемое через скорости деформации согласно обобщённой

гипотезе Ньютона. Возьмем элементарную площадку на поверхности стенки с нормалью, направленной внутрь жидкости (рис. 21). Вектор касательного напряжения можно представить в виде

Рис. 21.

С другой стороны, в силу условия (7.2) будем иметь:

Пользуясь этими равенствами, динамическое условие (7.3) можно представить в виде

    (7.4)

Проектируя левую и правую части (7.4) на оси координат, вводя направляющие косинусы нормали и используя формулу (10.3) главы I, получим следующие три соотношения, выражающие динамические условия на твёрдых стенках:

В ранних работах по теории движения вязкой жидкости предполагалось, что коэффициент внешнего трения имеет конечную величину. Но проведённые в последующее время тщательные опыты и измерения скоростей частиц вблизи стенок показали, что коэффициенту внешнего трения следует придавать весьма большие значения. На этом основании значение этого коэффициента теоретически можно считать бесконечно большим. Так как левая часть равенства (7.4) является конечной, то, предполагая коэффициент бесконечно большим, мы должны второй множитель считать равным нулю. Таким образом, граничное условие на твёрдой стенке принимает следующую форму:

Равенство (7.6) означает, что частицы жидкости, примыкающие к стенкам, имеют те же скорости, какие имеют соответственные точки самой стенки. Условие (7.6) по этой причине называется условием прилипания частиц вязкой жидкости к твёрдой стенке. Это граничное условие можно было и не выводить из условия (7.4), а принять его как результат наблюдений. При решении конкретных задач в большинстве случаев используется именно условие прилипания (7.6).

Обратимся к выяснению граничных условий на понерхности раздела двух неперемешивающихся жидкостей.

Условие, что частицы первой жидкости не перемешиваются с частицами второй жидкости, можно выразить равенством проекций

на нормаль к поверхности раздела векторов скоростей этих частиц,

Рис. 22.

Условие (7.7) не исключает возможности разрыва касательных составляющих скоростей частиц первой и второй жидкости на поверхности раздела. Для выяснения динамического условия возьмём на поверхности раздела элементарную площадку (рис. 22). На одной стороне этой площадки будет развиваться напряжение , обусловленное деформацией примыкающих частиц первой жидкости, а на второй стороне будет развиваться напряжение Эти два вектора напряжений в общем случае по величине не будут равны между собой не только по причине возможного наличия сил капиллярности, но и по причине образования внешней силы трения. Силу внешнего трения на поверхности раздела можно также полагать пропорциональной разности касательных скоростей частиц первой и второй жидкостей. Если силы капиллярности будут пренебрежимо малыми, то в силу требования непрерывности нормальных составляющих напряжений при переходе через поверхность раздела будем иметь:

Касательные составляющие напряжений могут претерпевать разрыв, величина которого должна быть равна силе внешнего трения, т. е.

где — коэффициент внешнего трения частиц первой и второй жидкости. Таким образом, в общем случае на поверхности раздела должны выполняться кинематическое условие (7.7) и два динамических условия (7.8) и (7.9).

Рассмотрим часто встречающийся случай, в котором вторая жидкость имеет сравнительно малую плотность и весьма малые скорости движения, как это имеет место, например, при движении воды в каналах и реках. Поверхность раздела, отделяющая воду от атмосферного воздуха, в этом случае называется свободной поверхностью. Так как в этом случае будем иметь,

то динамические условия (7.8) и (7. 9) должны принять следующую форму:

где давление со стороны покоящейся жидкости. Таким образом, на свободной поверхности раздела нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль.

Кинематическое условие (7.7) заменяется в этом случае другим условием, выражающим собой то предположение, что частицы жидкости, находящиеся на свободной поверхности, не покидают этой поверхности во всё время движения. Это новое условие можно выразить равенством нормальной составляющей вектора скорости частиц жидкости скорости перемещения по нормали точек самой свободной поверхности, т. е.

где — скорость перемещения по нормали точек самой поверхности.

Мы рассмотрели лишь те граничные условия, которые должны выполняться для скоростей и напряжений. Этих условий будет достаточно для изучения ряда случаев движения несжимаемой жидкости и некоторых случаев движения вязкой сжимаемой жидкости, в которых можно пренебрегать изменением температуры. При учёте изменения температуры необходимо вводить в рассмотрение и граничные условия по отношению к температуре, которые могут быть весьма разнообразными, и поэтому об этих условиях целесообразно вести речь не в общем виде, а в каждом конкретном случае отдельно.