§ 9. Структура турбулентного изотропного потока

В предшествующих параграфах были рассмотрены те простейшие случаи турбулентных установившихся осреднённых течений жидкости, для изучения которых было достаточно использовать понятие о турбулентном трении и некоторые предположения о подобии распределения

осреднённых скоростей и совершенно не потребовалось рассмотрение внутренней структуры полей пульсации.

Качественные соображения о возможной структуре пульсационных движений жидкости были подробно развиты А. Н. Колмогоровым. Согласно этим соображениям на осреднённый поток жидкости при больших значениях числа Рейнольдса накладываются поля «пульсаций первого порядка», состоящие в беспорядочном перемещении друг относительно друга объёмов жидкости с диаметром порядка длины характерного масштаба учитываемого в полуэмпирических теориях турбулентности. Поля пульсаций первого порядка при очень больших значениях R теряют свою устойчивость и на них накладываются поля «пульсаций второго порядка» с линейным масштабом относительными скоростями Такой процесс последовательного измельчения полей турбулентных пульсаций будет происходить до тех пор, пока для пульсаций порядка число Рейнольдса

не окажется настолько малым, что дальнейшее дробление пульсаций парализуется существенным влиянием вязкости. Такая каскадная структура пульсационного движения жидкости с энергетической точки зрения становится возможной, если предположить, что пульсации первого порядка зарождаются и поддерживаются благодаря переносу энергии от самого осреднённого течения и в свою очередь передают часть энергии пульсациям второго порядка, а от этих пульсаций происходит передача энергии пульсациям третьего порядка и т. д.; энергия же самых мелких пульсаций рассеивается благодаря вязкости в теплоту. Такое представление о переносе энергии от пульсаций с большими масштабами к пульсациям меньших масштабов позволяет предполагать, что масштабы полей пульсаций и величины скоростей пульсаций в известной мере будут предопределяться плотностью потока энергии, вносимой в данное поле пульсаций со стороны поля пульсаций предшествующего порядка. Исключение может представить только поле «пульсаций наибольшего порядка», масштабы которого естественно поставить в связь с удельной энергией, рассеиваемой благодаря вязкости в единицу времени и на единицу массы. Если учесть размерности удельной энергии и кинематического коэффициента вязкости

то легко установить, что единственной комбинацией этих величин, имеющей размерность длины, будет:

Величина представляемая в виде (9.1), была введена в цитированной выше работе А. Н. Колмогорова в качестве масштаба поля «пульсаций наибольшего порядка», постепенно затухающих благодаря вязкости, и названа впоследствии внутренним масштабом турбулентности. Характерный масштаб полей пульсаций первого порядка назван внешним масштабом турбулентности. Знание величины внутреннего масштаба турбулентности полезно и практически в том отношении, что для измерения истинного градиента скорости в турбулентном потоке необходимо измеряющие приборы устанавливать на расстоянии, меньшем, чем По имеющимся данным величина этого масштаба для турбулентности в атмосфере равна примерно одному сантиметру, а в условиях аэродинамических труб имеет порядок долей миллиметра.

Рассуждения, проведённые выше при определении внутреннего масштаба турбулентности, не могут быть непосредственно перенесены на определение внешнего, и промежуточных масштабов турбулентности на том основании, что по мере понижения «порядка пульсации», т. е. по мере повышения масштаба турбулентности, должна уменьшаться зависимость его от вязкости жидкости. Таким образом, при оценке промежуточных масштабов турбулентности мы должны коэффициент вязкости из рассмотрения исключить и сохранить лишь удельную энергию под которой теперь следует понимать не энергию, рассеиваемую в теплоту, а энергию, передаваемую от поля пульсаций данного порядка к полю пульсаций порядка на единицу выше. Рассматривая удельную энергию и сам линейный масштаб поля пульсаций порядка k с точки зрения размерностей, мы видим, что из них можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность скорости, в виде

Таким образом, если под понимать величину скорости пульсации «порядка т. е. разность действительных скоростей движения жидкости в двух точках, находящихся на расстоянии друг от друга, то равенство (9.2) представляет собой полученный впервые А. Н. Колмогоровым закон пропорциональности разности скоростей турбулентного движения в двух точках расстоянию между этими точками в степени одной трети.

Приведённые выше соображения о внутреннем строении полей пульсаций носят преимущественно качественный характер.

Прежде чем переходить к количественной стороне вопроса, необходимо обратить внимание на следующее. Пульсационное движение жидкости является неупорядоченным движением и оно сходно во многих отношениях с движениями отдельных молекул газа. Поэтому изучать это движение с количественной стороны методами классической механики на основе дифференциальных уравнений

движения с учётом начальных условий не представляется возможным. В силу необходимости приходится кинематические и динамические характеристики движения рассматривать как случайные функции, принимающие определённые значения из ряда возможных лишь с некоторой степенью вероятности, и вместо самих истинных характеристик движения приходится в расчётах вводить их математические ожидания в виде интегралов по времени от произведений вероятности на возможные значения рассматриваемых характеристик, отнесённых к промежутку интегрирования. При выполнении некоторых условий эти математические ожидания будут совпадать с осреднёнными значениями рассматриваемых характеристик по времени в том же смысле, в котором было введено осреднение в § 2. До сих пор без особых оговорок принималось, что для изучаемых турбулентных движений жидкости условия, позволяющие отождествлять математические ожидания характеристик с их осреднёнными значениями в обычном смысле, с достаточной степенью приближения выполняются. Все эти соображения и побудили отдельных исследователей пойти на комбинирование методов классической механики с методами статистической механики и наряду с понятиями, имеющими место в классической гидродинамике, ввести понятия из теории вероятностей в качестве статистических характеристик кинематики турбулентного движения. Как уже было указано выше, статистическая теория турбулентности впервые была выдвинута в работах Л. В. Келлера и А. А. Фридмана 1), а в последние 15 лет наиболее успешно разрабатывалась А. Н. Колмогоровым 2) и его учениками. За границей статистическая теория турбулентности разрабатывалась Бюргерсом 3), Тэйлором 4), Карманом и др.

Развитие статистической теории турбулентности идёт по двум различным направлениям: 1) в направлении использования моментов связи проекций скоростей различных порядков или коэффициентов корреляций и связанных с этими понятиями структурных функций или корреляционных функций, определяющих в известной мере масштабы элементов турбулентности в предположении однородности и изотропности потока, и 2) в направлении использования спектральных функций или спектрального тензора, связанных с пульсациями кинетической энергии и статистическим распределением этой энергии по волновым числам. В частных случаях спектральные функции и корреляционные функции связаны обычным преобразованием Фурье.

Мы дадим весьма краткое изложение тех основных понятий, которые используются в работах первого направления, и при этом будем держаться той трактовки этих понятий, которая нашла своё отражение в работах А. Н. Колмогорова и его последователей.

Обозначим характерный линейный масштаб всего потока в целом через L, а характерную скорость через U и будем предполагать число Рейнольдса

всего потока в целом настолько большим, что представление о каскадном строении полей пульсаций становится вполне возможным. Пульсации различных порядков будем далее именовать вихрями различных масштабов. Под достаточно малой областью будем разуметь область, линейные размеры которой малы по сравнению с масштабом всего потока

В достаточно малой области, зафиксированной внутри области всего потока, возьмём две точки О и из которых первую будем считать фиксированной, а вторую текущей, т. е. вторая точка может быть совмещена с любой точкой внутри фиксированной малой области. Вводим в рассмотрение разность векторов скоростей в двух указанных точках в виде

Эта разность векторов скоростей (9.4) как раз и принимается в статистической теории турбулентности А. Н. Колмогорова в качестве исходной кинематической характеристики так называемой локальной структуры турбулентного потока. Из этой разности векторов скоростей составляются затем с помощью операции осреднения по времени статистические характеристики локальной турбулентности, аналогичные моментам связей проекции векторов скоростей пульсаций в двух точках, введённым впервые в цитированной выше работе Л. В. Келлера и А. А. Фридмана и широко используемым в работах Л. Г. Лойцянского, Л. И. Седова и др. При выводе общих уравнений турбулентности Рейнольдса в § 3 и в последующих параграфах в качестве исходной кинематической характеристики турбулентности был принят вектор пульсации в виде разности истинного вектора скорости и вектора скорости осреднённого течения в одной и той же точке, т. е.

При сопоставлении смысла двух исходных кинематических характеристик турбулентности (9.4) и (9.5) можно придти к выводу, что

характеристика (9.4) полнее и более правильно может отражать основные свойства турбулентности, чем (9.5), и к тому же эта характеристика непосредственно может определяться в опытах с помощью соответственных приборов для каждого момента времени, тогда как для определения характеристики (9.5) необходима целая серия экспериментальных измерений и соответственных расчётов. Последнее обстоятельство служит решающим аргументом в пользу исходной характеристики (9.4). Кроме того, следует учесть то, что в правой части (9.4) находится разность векторов скоростей действительного движения в двух точках, тогда как в правой части (9.5) находится разность одного вектора скорости действительного движения и второго искусственно введённого вектора скорости осреднённого течения. Следовательно, разность (9.4) характеризует действительное относительное движение одного элементарного объёма жидкости по отношению ко второму. В частности, проекция этой разности на направление отрезка, соединяющего две рассматриваемые точки будет представлять собой относительную скорость сближения или удаления друг от друга элементарных объёмов жидкости, а проекции разности (9.4) на направления, перпендикулярные к указанному отрезку, будут представлять линейные относительные скорости от вращения и сдвига одного элемента относительно другого. И, наконец, последнее преимущество исходной характеристики турбулентности движения (9.4) перед характеристикой (9.5) заключается в том, что она учитывает влияние лишь тех вихрей, линейный масштаб которых меньше характерного масштаба фиксированной малой области, поэтому она и служит характеристикой локальной турбулентности. Вихри, масштабы которых больше масштаба фиксированной области, будут вызывать лишь поступательное движение всей малой области, т. е. индуцировать примерно одинаковые скорости в точках и по этой причине эти скорости будут выпадать при определении разности (9.4).

В качестве первых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются осреднённые по времени значения произведений проекций разности (9.4) на оси координат инерциальной системы отсчёта . Совокупность таких статистических характеристик составляет структурный тензор второго ранга локальной турбулентности со следующими составляющими:

где представляют собой проекции векторов на указанные оси координат. В качестве вторых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются величины

представляющие собой осреднение по времени значения произведений трёх проекций разности (9.4) на указанные оси координат.

Если предположить, что вектор скорости действительного движения представляет собой непрерывную функцию от пространственных координат, то в малой окрестности фиксированной точки О вектор относительной скорости (9.4) будет представляться в виде

т. е. исходная характеристика движения жидкости будет зависеть только от времени и относительных координат, и в этом смысле движение может считаться кинематически однородным. При этом предположении (9.8) все статистические характеристики (9.6), (9.7) и др. также будут зависеть только от времени и относительных координат точки М по отношению к О, и поэтому в этом смысле движение может считаться и статистически однородным в той малой окрестности, которая целиком расположена внутри фиксированной малой области. В частности, для составляющих структурного тензора второго ранга (9.6) будем иметь выражение

Определение локально однородной турбулентности можно дать и независимо от требования непрерывности вектора скорости действительного движения и независимо от требования малости окрестности точки О. А именно турбулентное движение называется локально однородным, если все статистические характеристики движения будут функциями только от времени и разностей абсолютных координат двух точек, причём эти функции и их коэффициенты не будут зависеть от расположения фиксированной точки внутри указанной выше малой области. При таком определении составляющие структурного тензора второго ранга должны рассматриваться прежде всего как функции относительных координат точки М по отношению к точке О. Что же касается зависимости статистических характеристик турбулентности от времени, то такая зависимость, вообще говоря, может допускаться при скользящем интервале времени осреднения.

Из множества локально однородных турбулентных движений можно выделить класс наиболее простейших турбулентных движений,

удовлетворяющих требованию изотропности. Предварительно сошлёмся на некоторые опытные данные. Измерения составляющих вектора скорости ветра в природных условиях показывают, что величины осреднённых по времени квадратов горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей различны, но это различие уменьшается по мере удаления от поверхности земли. Таким образом, происходит выравнивание осреднённых по времени квадратов проекций вектора скорости пульсаций. Такое же выравнивание квадратов проекций вектора скорости пульсаций было обнаружено с помощью ультрамикроскопа в круглой трубе по мере приближения к оси трубы. Наконец, в аэродинамической трубе, где турбулентность регулируется решёткой, устанавливается такое турбулентное движение, при котором осреднённые по времени величины квадратов трёх проекций вектора скорости пульсации равны между собой. Это свойство рассматриваемых видов турбулентных движений и названо изотропностью. Таким образом, турбулентное движение жидкости считается изотропным, если значение осреднённого по времени квадрата проекции вектора скорости пульсации не зависит от того направления, на которое проектируется вектор скорости пульсаций. Возьмём в данной точке произвольное направление с направляющими косинусами

Тогда проекция вектора скорости пульсации на это направление будет равна

На основании данного выше определения изотропности турбулентного движения мы должны иметь:

Если обе части (9.10) возвести в квадрат и провести осреднение по времени, то для выполнения условия изотропности (9.11) необходимо, чтобы осреднённые по времени значения произведений проекций вектора скорости пульсаций на две различные оси были бы равны нулю, т. е.

Условия (9.12) означают, во-первых, то, что в изотропном турбулентном движении жидкости нет статистической связи (корреляции) между проекциями вектора скорости пульсаций на различные оси и, во-вторых, то, что тензор турбулентных напряжений для изотропного движения жидкости будет состоять только из одного нормального напряжения, величина которого к тому же не зависит от

ориентации площадки, на которой определяется турбулентное напряжение.

Данное выше определение изотропной турбулентности движения касалось только величин квадратов самих проекций вектора скорости пульсации. Более развёрнутое определение изотропности турбулентного движения включает в себя и требования, накладываемые на производные от проекции вектора пульсаций, а именно: турбулентное движение жидкости называется изотропным, если осреднённые значения квадратов проекций вектора скорости пульсаций и их первых производных по координатам выбранных осей остаются неизменными при повороте этих осей и при изменении их ориентации. На основании этого требования к производным от проекций вектора скорости пульсации осреднённые значения квадратов первых производных от проекций вектора скорости пульсаций, удовлетворяющих круговой замене осей координат, будут равны между собой, т. е. будут иметь место следующие равенства:

Осреднённые значения произведений производных, удовлетворяющих также условию круговой замены осей координат, будут равны между собой, а если произведения не удовлетворяют условию круговой замены осей и меняют знак при замене, например через то их осреднённые по времени значения должны равняться нулю. На основании этих требований будем иметь:

Связь между введёнными величинами и можно устано» вить, если, во-первых, использовать уравнение несжимаемости

Если возвести в квадрат левую часть этого уравнения, произвести осреднение по времени и учесть приведённые ниже равенства, то

получим:

Второе соотношение между этими величинами мы получим, если обратимся к преобразованиям поворота осей координат на угол в 45°. Например, при повороте осей координат вокруг оси на 45° будем иметь формулы преобразования в виде

Первая производная при этом преобразовании представится в виде

и поэтому

Объединяя в этом равенстве члены, равные по условиям изотропии, получим:

или

Третье соотношение между величинами можно получить для случая отсутствия осреднённого течения жидкости и в предположении, что для чисто пульсационного движения вязкой жидкости сохраняют свою силу полные уравнения движения вязкой жидкости, из которых при отсутствии массовых сил можно получить следующее выражение для оператора Лапласа от давления:

Если провести осреднение по времени равенства (9.17) и учесть равенства (9.13) и (9.14), то получим:

Обычно в качестве гипотезы принимается, что в однородном поле

пульсаций осреднённое значение оператора Лапласа от давления равно нулю, т. е.

При этой гипотезе мы получим третье соотношение

На основании трёх соотношений (9.15), (9.16) и (9.20) получим соотношение между осреднёнными значениями квадратов производных от проекций скоростей и отличных от нуля произведений этих производных

Используя это соотношение, можно найти осреднённое значение энергии рассеивания в единицу времени и в единице объёма при чисто пульсационном изотропном движении

Изложенное выше определение изотропности турбулентного движения несжимаемой жидкости дано по отношению лишь к тем осреднённым характеристикам движения, которые могут иметь место для каждой точки в отдельности внутри области течения. Определение изотропности турбулентного движения жидкости по отношению к статистическим характеристикам движения, относящимся, например, к двум точкам внутри области течения, должно быть соответственным образом видоизменено.

По отношению к статистическим характеристикам локальной структуры турбулентности (9.6) и (9.7) движение жидкости только тогда и считается локально изотропным в фиксированной малой области, когда, помимо условия однородности, выполняются и условия инвариантности структурных тензоров по отношению к вращению исходной системы координат и по отношению к их зеркальным отображениям. При выполнении этих условий составляющие структурного тензора второго ранга будут представляться в виде

где — относительные координаты точки М по отношению к — расстояние точки М от точки О, т. е.

— неизвестные функции от расстояния , а - представляет символ, принимающий значения

Обозначим проекции векторов скоростей в точках М и О на направление самого отрезка, соединяющего эти две точки, через и на некоторое направление, перпендикулярное к этому отрезку, через Тогда продольная структурная функция

будет представлять собой осреднённое по времени значение квадрата относительной скорости сближения или удаления элементарных объёмов жидкости, расположенных в точках М и О. А поперечная структурная - функция

будет представлять собой осреднённое значение квадрата относительной скорости от вращения и сдвига одного элементарного объёма по отношению к другому.

Полагая в (9.23) вначале а затем получим:

Определяя из этих равенств функции и подставляя их значения в (9.23), получим:

Введённые структурные функции (9.24) и (9.25) являются основными в теории локальной турбулентности, развиваемой в цитированных выше работах А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова и др.