§ 7. Турбулентный пограничный слой

В § 1 главы VIII было введено понятие пограничного слоя, примыкающего к поверхности твёрдой стенки, в котором влияние вязкости жидкости на распределение скоростей частиц должно учитываться в первую очередь наряду с инерционным воздействием внешнего

потока. Для случая установившегося плоско-параллельного течения в пограничном слое были установлены дифференциальные уравнения

При этом давление считается известной функцией от криволинейной координаты х, отсчитываемой от передней критической точки вдоль поверхности тела; на основании интеграла Бернулли

При использовании граничных условий из уравнений (7.1) было получено в § 3 главы VIII интегральное соотношение в виде

При рассмотрении частных примеров в этой главе было показано, что толщина пограничного слоя 6 растёт с ростом координаты х. Следдвательно, если ввести местное число Рейнольдса, связанное с толщиной слоя

то это число будет увеличиваться вдоль пограничного слоя и может превзойти так называемое критическое значение, после которого режим течения в пограничном слое должен измениться. Такого рода предварительное заключение, сделанное пока лишь по аналогии с течением в трубах постоянного сечения, было подтверждено многочисленными экспериментальными исследованиями не только с качественной стороны, но и с количественной. Иначе говоря, найденные из опыта места перехода ламинарного режима течения в пограничном слое в турбулентный с явным проявлением пульсаций скоростей отвечали тем значениям толщины пограничного слоя, для которых значения числа Рейнольдса (7.4) были достаточно близки к значению критического числа Рейнольдса для трубы. В § 4 главы XI при проведении исследования устойчивости ламинарного течения в пограничном слое было указано на то, что найденные теоретическим путём критические значения числа Рейнольдса, при которых ламинарное течение в пограничном слое теряет свою устойчивость, по своему порядку величин близки к опытным значениям для трубы.

Таким образом, при рассмотрении течения жидкости в пограничном слое в общем случае необходимо разбить этот слой в продольном направлении на три участка: 1) участок ламинарного слоя, 2) участок переходного слоя, который в расчётах обычно принимается за точку перехода, и 3) участок турбулентного слоя. Протяжённость участка ламинарного слоя будет тем меньше, чем больше число Рейнольдса внешнего потока на достаточном удалении от рассматриваемого тела.

При выводе дифференциальных уравнений осреднённого турбулентного течения несжимаемой жидкости в § 3 было указано на то, что при изучении осреднённого течения необходимо наряду с тензором вязких напряжений вводить в рассмотрение и тензор пульсационных напряжений; именно в этом и проявляется формальное отличие дифференциальных уравнений (3.15) от общих уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости. Раз это так, то дифференциальные уравнения осреднённого течения несжимаемой жидкости в пограничном слое могут быть формально получены из уравнений (7.1) простой заменой компонент скоростей и и v через проекции вектора скорости осреднённого движения и заменой силы вязкости через сумму осреднённой силы вязкости и турбулентного трения, т. е.

Если при этом мы учтём зависимость давления в слое от скорости внешнего потока на границе слоя (7.2), то вместо уравнений (7.1) для пограничного турбулентного слоя будем иметь следующие дифференциальные уравнения:

Между прочим, заметим, что при выводе уравнений (7.1) в главе VIII коэффициент вязкости предполагался малым, порядка , а поперечный градиент скорости предполагался большим, порядка и в первом уравнении (7.1) были сохранены члены порядка единицы. Если эти оценки порядка величин сохранить и для турбулентного пограничного слоя, то турбулентное трение, представляемое вторым слагаемым (7.5), должно иметь порядок 8, а, следовательно, составляющие вектора скорости пульсации не могут считаться малыми порядка 8, а иметь порядок 812. А это значит, что поперечная составляющая скорости поля пульсаций, благодаря которой происходит турбулентный обмен различными качествами и количествами

между пограничным слоем и внешним потоком, по своему порядку величин должна приближаться к порядку скорости осреднённого течения в самом пограничном слое. На этом основании можно утверждать, что толщина пограничного турбулентного слоя будет расти вдоль поверхности тела быстрее, чем толщина ламинарного слоя.

Интегральное соотношение (7.3) для турбулентного пограничного слоя примет следующий вид:

Укажем теперь на то существенное различие, которое имеет место в подходах к изучению закономерностей ламинарного и пограничного слоёв для отдельных случаев. Как мы видели в главе VIII, для изучения ламинарного пограничного слоя было достаточно:

1) задать распределение давления по передней части контура (или из опыта, или из решения соответственной задачи о потенциальном обтекании контура) и 2) задать поперечное распределение основной скорости в самом пограничном слое. При этих заданиях интегральное соотношение (7.3) превращалось в разрешимое в квадратурах дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя. После этого можно было определить распределение силы вязкости вдоль контура и вычислить результирующее сопротивление трения рассматриваемого контура.

Если теперь мы обратимся к использованию интегрального соотношения (7.7) для турбулентного пограничного слоя, то увидим, что указанных двух заданий: 1) распределения давления в продольном направлении и 2) распределения основной скорости в поперечном направлении в слое, становится недостаточным. Необходимо ещё 3) задать зависимость турбулентного трения от основной скорости осреднённого течения в пограничном слое. Кроме того, различие проявляется и в задании поперечного распределения основной скорости. Для ламинарного пограничного слоя поперечное распределение основной скорости представлялось в виде различных простейших функций у от отношения у, удовлетворяющих различным граничным условиям на границе слоя и условиям прилипания к стенкам. При этом получалось, что задание различных по характеру функций не изменяло зависимостей толщины слоя о, вязкого напряжения и результирующего сопротивления F от размерных величин: скорости V, вязкости IX, плотности и координаты х, а сказывалось только на значениях числовых множителей и в незначительной степени. При изучении турбулентного пограничного слоя поступают несколько иначе, а именно поперечное распределение основной скорости в слое задаётся обычно в том виде, в каком оно уже использовалось при изучении турбулентного движения в трубах, т. е. либо в одночленной форме

с дробной степенью чаще со степенью у, либо в форме логарифмической зависимости. При этом иногда производится сопряжение турбулентного распределения скоростей с распределением скоростей в ламинарном подслое, привыкающем непосредственно к самой стенке, и сопряжение толщины ламинарного слоя на переднем участке с толщиной турбулентного слоя на последующем участке пограничного слоя. Что же касается задания турбулентного трения на самой стенке в пограничном слое, то и здесь обычно используется связь этого трения с динамической скоростью V и те соотношения, которые были установлены для турбулентного движения в трубе.

В качестве примера рассмотрим турбулентный пограничный слбй на пластинке, обтекаемой безграничным потоком то скоростью в продольном направлении. Для этого случая первое слагаемое в правой части (7.7) обратится в нуль и для местного результирующего трения на самой пластинке будем иметь выражение

Умножая обе части (7.8) на где b — ширина пластинки, интегрируя по х от 0 до L (длина пластинки), получим формулу для результирующего сопротивления трения одной стороны пластинки в виде

Если результирующее сопротивление трения поделить на площадь и скоростной напор, то получим следующую интегральную общую формулу для коэффициента сопротивления трения пластинки:

Примем теперь, что пограничный турбулентный слой начинается с самого края пластинки и что для распределения скоростей справедлив закон у, т. е.

Этому распределению скоростей отвечает эмпирическая формула для трения на стенке трубы

пригодная для тех случаев, когда число Рейнольдса не превышает , Заменяя радиус трубы а через толщину слоя и максимальную скорость в трубе через скорость потока на бесконечности, получим формулу для местного турбулентного трения на пластинке

Подставляя (7.11) в (7.8) и (7.10), будем иметь:

Приравнивая (7.13) и (7.12), получим дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя

Если провести интегрирование этого уравнения при выполнении граничного условия, что при толщина слоя то получим:

Сопоставляя полученную формулу (7.16) с формулой (2.19) главы VIII, мы видим, что толщина турбулентного пограничного слоя на пластинке растёт быстрее, чем толщина ламинарного слоя.

Подставляя выражение (7.16) в (7.12) и в (7.14), получим формулы для местного турбулентного трения на пластинке и для коэффициента сопротивления

    (7.17)

Сравнивая формулу (7.18) с формулой (2.18) главы VIII, мы видим, что коэффициент сопротивления трений пластинки при турбулентном режиме пограничного слоя с возрастанием числа Рейнольдса убывает значительно медленнее, чем при ламинарном режиме. Формула (7.18) находится в хорошем согласии с опытными измерениями именно в тех случаях, когда практически обеспечивается турбулентный режим в пограничном слое, начиная с передней кромки пластинки. Лучшее согласие с опытными данными до значения числа Рейнольдса

можно получить, если числовой множитель в (7,18) заменить через 0,074.

Если имеется участок ламинарного пограничного слоя, то опытные данные лучше отвечают следующей формуле для коэффициента сопротивления трения:

    (7.19)

Выше были проведены расчёты при частном задании распределения скоростей в турбулентном пограничном слое на пластинке. Но эти расчёты можно провести и при общем задании распределения скоростей в безразмерных величинах введённых в начале § 6. Полагая

примем, что при частном значении — известны и тогда будем иметь:

При этих обозначениях формула (7.8) имеет вид

Величины и v, а следовательно, и являются неизвестными функциями от координаты х, а поэтому дифференцирование по переменному х можно заменить дифференцированием по и тогда будем иметь:

Если выполнить дифференцирование в правой части по верхнему пределу и учесть, что при то получим нуль. При выполнении же дифференцирования под знаком интеграла мы должны учесть, что функция от параметра не зависит, от этого параметра зависит только Таким образом, будем иметь:

Введём обозначение

тогда из (7.21) получим:

где через мы обозначили частное значение параметра отвечающее частному значению координаты х. Таким образом, число Рейнольдса, соответствующее длине пластинки L, равно

Подставляя в формулу для результирующего сопротивления пластинки

значение и значение получим:

Отсюда для коэффициента сопротивления трения пластинки будем иметь:

Таким образом, для вычисления коэффициента сопротивления трения пластинки при заданном распределении скоростей в общем виде необходимо выполнить три квадратуры (7.22), (7.23) и (7.25) и исключить параметр из соотношений (7.24) и (7.26). Указанные квадратуры можно выполнить не только для рассмотренного выше степенного закона распределения скоростей, но и для логарифмического закона распределения скоростей в виде

где постоянные, подобранные из условия лучшего согласования с опытными данными, имеют значения

(см. скан)

Рис. 108.

Так как при задании (7.27) получается сложная формула для коэффициента сопротивления трения пластинки, то на основании проведённых вычислений была предложена интерполяционная формула в виде

Опытным данным чисто турбулентного пограничного слоя на пластинке без участка ламинарного слоя в носовой части хорошо отвечает также и степенная зависимость в виде

На рис. 108 приведены графики зависимости коэффициента сопротивления трения пластинки от числа Рейнольдса, отвечающие формулам (7.19) (числитель второго слагаемого в этой формуле обозначен через А), (7.28) и формуле, аналогичной формуле (6.28). На этом рисунке различными значками отмечены данные экспериментальных измерений, проведённых многими исследователями.

В ряде работ интегральное соотношение (7.7) было Использовано и для приближённого определения закономерностей турбулентного пограничного слоя на крыле с учётом перепада давления,