§ 5. Полуэмпирические теории турбулентности

Система дифференциальных уравнений осреднённого движения несжимаемой жидкости (3.15) является незамкнутой. Отдельные попытки замкнуть эту систему уравнений в общем случае ещё не дали таких результатов, которые бы позволяли решать отдельные краевые

задачи и сравнивать результаты расчёта с результатами измерений. Поэтому развитие изучения турбулентного движения жидкости шло не по линии использования уравнений движения, а по линии использования лишь самих характеристик турбулентности и по линии установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осреднённого течения. Именно по этому пути и развивались так называемые полуэмпирические теории турбулентности.

Получившие распространение полуэмпирические теории турбулентности были развиты вначале лишь для случая, когда осреднён-ное движение несжимаемой жидкости является: 1) прямолинейнопараллельным, т. е.

2) плоским, т. е.

и 3) установившимся, т. е.

причём поле пульсаций при этом предполагается плоско-параллельным, т. е.

Тензор пульсационных напряжений будет иметь в этом случае три компоненты:

Если пренебречь действием массовых сил, то дифференциальные уравнения осредненного движения (3.15) при перечисленных выше предположениях принимают вид

Основными характеристиками турбулентности в рассматриваемом нами случае принято считать: 1) две проекции вектора скорости пульсации и и v, 2) касательное пульсационное напряжение и 3) пульсацию вектора вихря Для установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осреднённого движения U были предложены: 1) теория

Прандтля, или теория пути перемешивания, 2) теория Тэйлора и 3) теория Кармана, или теория подобия полей пульсаций.

В основе теории Прандтля лежит следующий ход рассуждений, аналогичный ходу рассуждений о свободной длине пробега молекул в кинетической теории газов. При турбулентном движении каждая элементарная масса жидкости сохраняет все свои качества, в том числе и вектор количества движения, только до тех пор, пока она не сместится в направлении, поперечном к скорости осреднённого течения, на предельное расстояние l. Если же смещение в поперечном направлении этой массы превзойдёт это предельное расстояние l, то произойдёт перемешивание данной массы с окружающей массой в новом положении, в результате которого изменится и вектор количества движения этой массы. Масса жидкости, переносимая в единицу времени и через единицу площади пульсационным движением в поперечном направлении к скорости осреднённого течения, будет представляться в виде произведения плотности на модуль проекции вектора скорости пульсации Эта масса переходит из положения, в котором скорость осреднённого течения представляется в виде в новое положение, для которого скорость осреднённого потока будет равна

где — частное значение пути перемешивания. Первая гипотеза в теории Прандтля заключается в том, что составляющая вектора скорости пульсации в направлении скорости основного потока и считается пропорциональной разности скоростей осреднённого течения в точке и в той точке, из которой рассматриваемая масса была смещена пульсационным движением т. е.

При этой гипотезе количество движения, перенесённое пульсационным движением в поперечном направлении к скорости основного потока, будет представляться в виде

где — числовой коэффициент. Равенство (5.8) представляет собой простейшее выражение закона турбулентного переноса количества движения. Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для турбулентного переноса теплоты

где 0 — температура, и для турбулентного переноса количества взвешенных в жидкости частиц получим:

где — концентрация взвешенных частиц. Во всех этих выражениях множители могут меняться от точки к точке.

Чтобы равенство (5.8) сделать более определённым, принимается вторая гипотеза, согласно которой вторая составляющая вектора скорости пульсации v считается пропорциональной первой составляющей, т. е.

При использовании двух гипотез (5.7) и (5.11) и при введении в рассмотрение осреднённого значения пути перемешивания I, включающего в себе и числовой множитель р, касательное пульсационное напряжение по теории Прандтля будет представляться в виде

Тот факт, что в (5.12) одна производная берется по модулю, а вторая — по алгебраической величине, объясняется тем, что при возрастании скорости осреднённого течения с увеличением расстояния у компонента турбулентного трения будет положительной, а при убывании скорости — отрицательной.

Таким образом, в теории Прандтля устанавливается нелинейная связь между турбулентным трением и градиентом скорости основного потока в поперечном направлении с переменным коэффициентом, представляющим собой квадрат пути перемешивания. Чтобы получить какие-либо конкретные результаты из (5.12), приходится прибегать к дополнительным предположениям, правильность которых в ограниченных пределах может подтверждаться только после сравнения результатов расчёта с результатом измерений при соответственном выборе значений безразмерных постоянных. Так, например, если принять: 1) путь перемешивания линейно зависящим от расстояния от стенки, т. е.

и 2) турбулентное трение постоянным, т. е.

то будем иметь из (5.12):

Проводя интегрирование, получим формулу так называемого логарифмического профиля распределения скоростей в турбулентном

потоке

    (5.16)

Эта формула хорошо подтверждается экспериментом, если для постоянного множителя в (5.13) взять значение

Отношение касательного напряжения к плотности имеет размерность квадрата скорости, поэтому множитель называется «скоростью касательного напряжения» или динамической скоростью

Формула (5.16) не может применяться к частицам, находящимся на бесконечно близких расстояниях от стенки. Неопределённая постоянная в (5.16) может быть определена из условия на средней линии, на которой осреднённая скорость принимает максимальное значение, т. е.

При выполнении этого условия и при использовании обозначения (5.18) формула (5.16) для логарифмического профиля распределения скоростей представится в виде

Заметим, что если в первом уравнении (5.6) пренебречь слагаемым с коэффициентом вязкости, учесть, что при гипотезе (5.7) в рассматриваемом случае компонента пульсационного напряжения может считаться не зависящей от х, и учесть (5.8) с заменой через то первое уравнение, выражающее собой условие равновесия сил давления и турбулентного трения, представится в виде

Перейдём теперь к краткому изложению теории Тэйлора. Прежде всего автор обращает внимание на то, что в теории Прандтля принимается, что масса, перемещаемая в поперечном направлении к скорости основного потока пульсационным движением, сохраняет до перемешивания своё количество движения, которое всё же может изменяться благодаря местным пульсациям давления.

По этой причине им было обращено основное внимание не на перенос количества движения, а на перенос завихренности, на изменении которой не сказываются местные перепады давления, так как при неучёте влияния вязкости завихрённость неотделима от частицы, т. е. каждая частица сохраняет свою завихрённость при движении. Дальнейшие рассуждения в теории Тэйлора сходны с рассуждениями в теории Прандтля.

Масса жидкости, переходя из одного горизонтального слоя в другой благодаря пульсационному движению переносит с собой вихрь. Перемешивание завихренности может произойти тогда, когда величина поперечного смещения будет превышать длину пути перемешивания При этом принимается, что пульсация напряжения вихря пропорциональна разности завихрённости осреднённого течения в рассматриваемых слоях, т. е.

Для прямолинейного осреднённого течения вихрь будет представляться в виде

Следовательно, пульсация напряжения вихря в рассматриваемом случае будет:

Возьмём теперь уравнение плоского движения в проекции на ось х без учёта вязкости

Полагая в этом уравнении

проведём осреднение и примем скорость осреднённого течения не зависящей от времени, а среднее значение квадрата скорости не зависящим от х. При этих предположениях получим:

Подставляя значение пульсации вихря из (5.22) и сохраняя знак осреднения над произведением получим следующее окончательное уравнение

в теории турбулентности Тэйлора:

Сравнивая уравнения (5.20) и (5.23), мы видим, что эти уравнения различны в своих правых частях. Правые части этих уравнений будут совпадать только тогда, когда среднее значение произведения пути перемешивания на поперечную составляющую вектора скорости пульсации не будет зависеть от расстояния у. В своей статье Тэйлор указывает на то, что различие указанных теорий должно обнаруживаться при сравнении распределения скоростей осреднённого течения и температуры позади нагретого цилиндрического тела. По теории Прандтля распределение скоростей и температур должно быть одинаковым, а по теории Тэйлора распределение скоростей не должно совпадать с распределением температур. Приведённые в работе экспериментальные данные подтверждают это различие распределения скоростей и температур в потоке позади нагретого тела. Однако при обтекании плоской нагретой пластинки распределение температур совпадает с распределением скоростей.

В заключение Тэйлор указывает на то, что теория турбулентности на основе переноса вихрей согласуется с теорией турбулентности на основе переноса количества движения для того случая, когда поле скоростей пульсаций является плоским и перпендикулярным к вектору скорости осреднённого течения (составляющая, параллельная скорости основного потока, отсутствует). Такой именно случай будет иметь место для течения вблизи неподвижных стенок. Если же осреднённое течение и пульсационное движение будут происходить в одной и той же плоскости, то обе теории будут приводить к разным результатам.

Общим в рассмотренных двух теориях турбулентности является то, что в исходных рассуждениях прослеживается движение фиксированной частицы до её перемешивания с другими, т. е. используется подход к движению жидкости с точки зрения Лагранжа. В теории турбулентности, предложенной Карманом, с начала до конца используется подход к изучению движения жидкости с точки зрения Эйлера, т. е. с точки зрения рассмотрения полей скоростей и давления.

Область, занятая жидкостью в турбулентном движении, рассматривается, с одной стороны, как единое поле скоростей осреднённого движения жидкости, а, с другой стороны, как множество полей пульсационного движения жидкости в окрестности каждой геометрической точки. Затем принимаются следующие две гипотезы: 1) структура полей пульсаций и его масштабы не зависят от вязкости, за

исключением тех полей, которые относятся к точкам, расположенным вблизи стенок; 2) по своей структуре все поля пульсаций подобны между собой и отличаются только масштабами времени и расстояний.

С качественной стороны указанные гипотезы имеют общий характер, однако количественное претворение эти гипотезы пока получили лишь для частного случая прямолинейного осреднённого течения при выполнении предпосылок (5.1), (5.2), (5.3) и (5.4), т. е. для того случая, когда все поля пульсаций являются плоско-параллельными. Кроме того, при выполнении вычислительных операций делается предположение, что масштабы времени и расстояний в каждом поле пульсаций могут быть поставлены в зависимость только от первых двух производных скорости осреднённого течения по координате у, т. е.

Поскольку размерность первой производной есть

то в качестве масштаба времени для поля пульсаций можно выбрать величину, пропорциональную обратному значению первой производной по у от средней скорости, т. е.

В таком случае на основании размерностей скоростей пульсаций и и v и высказанной выше гипотезы подобия полей пульсаций можно положить:

Таким образом, выбором масштаба времени в виде (5.24) гипотеза о подобии полей пульсаций приводит к тем же результатам, к которым приводит теория Прандтля о пути перемешивания. В то же время гипотеза о подобии позволяет получить и совершенно новый результат, непосредственно не получающийся из теории пути перемешивания. Дело в том, что предположение о зависимости поля пульсаций только от первых двух производных позволяет вполне определённым образом выбрать масштаб расстояний для поля пульсаций. Отношение первой производной ко второй имеет размерность длины, а поэтому в качестве масштаба линейных размеров пульсаций может

быть выбрана величина, пропорциональная отношению первой производной ко второй производной от скорости осреднённого течения по координате у, т. е.

где — числовой коэффициент, определяемый из условия согласования результатов расчёта с результатами опытов. Таким образом, теория Кармана позволяет определять длину пути перемешивания, входящую в теорию Прандтля, через дифференциальные характеристики осреднённого течения, а не задавать его в виде функции от расстояния от стенки.

Основные результаты (5.25) и (5.26) теории турбулентности Кармана были получены выше только с помощью анализа размерностей и гипотезы о подобии полей пульсаций. Самим же Карманом эти результаты были получены с помощью уравнений движения жидкости без учёта вязкости, представленных через функцию тока:

Систему координат х и у выберем подвижной с началом в какой-либо точке, переносимой со скоростью осреднённого течения в данной точке. Относительная скорость осреднённого течения в окрестности подвижного начала координат может быть тогда представлена в виде ряда Тэйлора

Тогда функция тока результирующего движения жидкости в окрестности начала равна

где — функция тока поля пульсаций в окрестности начала подвижной системы координат. Подставляя выражение (5.29) в уравнение (5.27) и ограничиваясь только множителями, содержащими координату у в первой степени, получим уравнение для функции тока поля пульсаций

Перейдём теперь к безразмерным величинам, полагая

В безразмерных величинах уравнение (5.30) представится в виде

Требование подобия полей пульсаций будет теперь сводиться к тому, чтобы уравнение (5.32) для функции тока выполнялось бы в каждой точке, выбор которой предопределяет собой выбор величин . Это требование подобия полей пульсаций будет выполнено с той степенью приближения, с которой будет справедливым само уравнение (5.32), если размерные коэффициенты этого уравнения будут пропорциональны друг другу, т. е.

Отсюда получаем:

Так как проекции вектора скорости пульсаций представляются в виде

то эти проекции должны быть пропорциональны первой производной и величине характерного линейного масштаба пульсаций, т. е.

Приведённые соотношения пропорциональности позволяют считать касательное пульсационное напряжение пропорциональным произведению квадрата линейного масштаба поля пульсаций на квадрат первой производной от скорости осреднённого течения, т. е.

Таким образом, мы снова приходим к основным соотношениям теории подобия полей пульсаций (5.25) и (5.26).

Л. Г. Лойцянскийпоказал, что соотношения (5.35) и (5.26) могут быть получены, если требование подобия полей пульсации заменить требованием подобия распределения разностей скоростей осреднённого течения в слоях с шириной