§ 6. Приближённые уравнения теории пограничного слоя

Для решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях упрощённые уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если, например, воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом слагаемом (1.13) через скорость частиц на границе слоя и совершенно отбросить второе слагаемое, то получим приближённые уравнения теории пограничного слоя

Уравнения вида (6.1) были уже использованы в § 3 главы VII для задачи погружения пластинки в вязкую среду. Если сравнить полученное там значение напряжения вязкости на пластинке (3.11)

с напряжением вязкости, полученным в § 2 на основании полных уравнений пограничного слоя, то можно заметить различие в значениях числовых коэффициентов порядка Таким образом, приближённые уравнения (6.1) являются грубо приближёнными, дающими заведомо преувеличенные значения для напряжения вязкости. К этим уравнениям можно обращаться лишь в тех крайних случаях в которых не может быть использован ни один из известных приближённых методов решения полных уравнений пограничного слоя (1.13). Например, в работах Л. Г. Лойцянского приближённые уравнения (6.1) были использованы для изучения пространственного пограничного слоя на стыке двух плоскостей. В этом случае ни один из известных методов решения уравнений (1.13) не может быть использован.

Уравнения (6.1) используются также для изучения движения жидкости в области позади тела в предположении, что движение считается ламинарным и распределение скоростей по начальному сечению этой области «следа» за телом считается известным из решений уравнений для пограничного слоя.

Упрощение вида первого уравнения (1.13) пограничного слоя можно произвести и другими способами. Вместо способа частичного учёта квадратичных членов инерции можно, например, применить способ осреднённого их учёта аналогично тому, как это было сделано в § 10 главы VI по отношению к смазочному слою. При таком способе упрощения уравнения пограничного слоя принимают вид

где — среднее по толщине слоя значение проекции вектора ускорения на направление касательной к рассматриваемому контуру

Учитывая граничные условия (1.14) и (1.15) и уравнение несжимаемости и проводя преобразования, которые были проведены в § 3,

среднее ускорение можно представить в виде

Таким образом, задача изучения движения жидкости в пограничном слое будет сводиться к решению первого уравнения (6.2) и к использованию соотношения (6.4) для определения толщины слоя.

Наконец, можно сохранить все уравнения (6.2), а ускорение определять не с помощью осреднения, а каким-либо другим способом, например с помощью соотношения

в котором скорость и считается заранее заданной функцией, удовлетворяющей граничным условиям на границах слоя.

Рассмотрим применение упрощённой теории пограничного слоя, представляемой первым уравнением (6.2) и соотношением (6.4), Решение первого уравнения (6.2) будет представляться в виде

Как уже было указано в § 4, основные граничные условия для скорости и имеют вид:

Удовлетворяя этим условиям, получим:

Используя равенство (6.9), будем иметь:

Подставляя в (6.4) значение среднего ускорения из (6.8) и используя равенства (6.10), получим:

Если давление определять из интеграла Бернулли, то будем иметь:

и соотношение (6.11) перейдёт в следующее дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя:

Решение этого линейного уравнения относительно 82 представляется в виде

Таким образом, толщина пограничного слоя определяется одной лишь квадратурой. Постоянное должно быть определено либо из условия задания толщины слоя для начала отсчёта криволинейной координаты, либо из какого-нибудь другого условия.

Для случая прямолинейной пластинки можно положить:

Тогда из (6.13) получим:

Сопоставляя правую часть (6.14) с правой частью (2.22), мы приходим к заключению, что подсчёт толщины пограничного слоя с помощью упрощённых уравнений (6.2) и (6.4) даёт завышенное значение для числового коэффициента порядка 5,4%. Ошибка определении значения числового коэффициента в формуле для толщины пограничного слоя по рассматриваемому методу оказывается всё же меньше, чем это получилось в § 4 при применении метода интегральных соотношений, а сами вычисления стали проще и не потребовали численного метода решения дифференциального уравнения.

Основная скорость и по толщине слоя распределяется по параболическому закону (6.9). По этой причине мы не можем установить положение точки отрыва пограничного слоя. Чтобы установить положение точки отрыва, необходимо предварительно уточнить полученное решение для основной скорости. Это уточнение можно произвести с помощью первого уравнения (6.2), если подставить в правую часть значение ускорения, подсчитываемое уже по формуле (6.5). Если подставит значение и из (6.9) в (6.5) и произвести

все вычисления, то для ускорения получим многочлен четвёртой степени, а поэтому основная скорость, определяемая по первому уравнению (6.2), будет представляться во втором приближении уже многочленом шестой степени. Толщина слоя в этом приближении будет определяться равенством

а положение точки отрыва будет определяться из равенства

Полученное значение (6.16) отличается от экспериментального значения (4.13) для эллиптического цилиндра на 30%, но всё же оно ближе к экспериментальному, чем то значение, которое получается при применении приближённого метода Польгаузена.