ВВЕДЕНИЕ

Гидродинамика — наука о движении жидкости. Предметом гидродинамики служит круг тех реальных явлений, к которым относятся не только течения жидкости и газа, встречающиеся в природе, но и весьма разнообразные течения жидкостей и газов, используемые во многих отраслях бурно развивающейся техники. Основная цель гидродинамики состоит в изучении качественных и количественных закономерностей течений жидкостей и газов, позволяющем, с одной стороны, повышать полезный эффект уже используемых в технике течений, а с другой стороны, расширять возможности использования других видов течений жидкостей.

По своему происхождению и по своим основным методам исследований гидродинамика принадлежит к ряду тех наук, которые именуются механическими. В настоящее время механику уже нельзя рассматривать как одну науку, а необходимо рассматривать как постепенно расширяющийся со временем ряд наук, изучающих одну и ту же простейшую форму движения и взаимодействия материальных тел, но в разнообразных качественных проявлениях. Основными количественными мерами простейшей формы движения служат перемещение, скорость и ускорение, а количественными мерами простейшей формы взаимодействия служат сила, момент силы, напряжение, импульс силы и работа силы. Поскольку в механических науках используются одни и те же количественные меры движения и взаимодействия, постольку у этих наук имеются общие черты и общие методы исследований. Различие же между отдельными механическими науками обусловлено, с одной стороны, различием качественных состояний тела или среды в процессе движения и взаимодействия и, с другой стороны, различием тех областей техники, для обслуживания которых разрабатывается та или иная механическая наука.

Гидродинамика принадлежит к той группе механических наук, в которых изучается деформируемая среда. Различие между деформируемыми средами проводится не только по физическим признакам агрегатного состояния, но и по механическим признакам, к которым относятся степень деформируемости под действием внешних сил и особенности внутренних сил взаимодействия частиц среды. Так, например, для упругой деформируемой среды мерами деформируемости

могут служить вектор перемещения и тензор самих деформаций, тогда как для жидкой деформируемой среды, частицы которой обладают большей подвижностью, такие меры деформируемости не могут быть пригодными и вместо них используются вектор скорости перемещения и тензор скоростей деформаций. Для упругой среды напряжённое состояние в каждой точке ставится в зависимость от тензора самих деформаций. Для жидкости и газа в этом отношении дело обстоит совершенно иначе. Во-первых, при равновесии жидкости и газа под действием внешних сил или при наличии замкнутого сосуда напряжённое состояние характеризуется только одним давлением и вопрос о распределении деформаций даже и не возникает. Во-вторых, при движении жидкостей и газов взаимодействие частиц осуществляется преимущественно с помощью давления, величина которого не ставится в прямую связь с состоянием деформаций в данной точке, а ставится в зависимость в некоторых случаях от плотности и температуры. И только в отношении дополнительных сил взаимодействия частиц жидкости и газа при их движении, которые именуются напряжениями вязкости, дело обстоит примерно так же, как и с упругими напряжениями в упругой среде. Различие состоит лишь в том, что тензор напряжений вязкости ставится в зависимость не от тензора самих деформаций, а от тензора скоростей деформаций.

Гидродинамика в ходе своего развития, по мере накопления исследований и решений конкретных задач, связанных с запросами соответственных областей техники, по мере расширения связей с различными разделами физики, химии и другими науками, в свою очередь также разветвлялась и продолжает разветвляться на отдельные ветви. Некоторые из них переросли в самостоятельные науки, такие, как аэромеханика, газовая динамика и др. Различие между отдельными гидродинамическими науками обусловлено различием дополнительных исходных предпосылок, заимствованных из других наук, и различием запросов соответственных областей техники.

Если ограничиться теми предпосылками, которые могут быть взяты только из одной науки — механики, то можно выделить две ветви гидродинамики: 1) гидродинамику идеальной несжимаемой жидкости и 2) гидродинамику вязкой несжимаемой жидкости. Развитие исследований по каждой такой ветви происходило обособленно и различными путями. Такое различие развития указанных ветвей гидродинамики обусловлено многими причинами и прежде всего различием служебной роли в практике человека, которую играет, с одной стороны, давление жидкости, а с другой — внутреннее трение жидкости. Свойство жидкости оказывать давление на стенки как при равновесии, так и при движении позволяло и позволяет использовать это давление как для преодоления действия силы тяжести, так и для приведения в движение соответственных двигателей, механизмов и приборов. С такой полезной ролью давления

жидкости люди ознакомились рано, о чём свидетельствуют факты использования ещё в древнее время таких гидравлических приспособлений, как пожарный насос, гидравлические часы, гидравлический орган и др. Развитие этой техники предопределило собой и появление научного трактата Архимеда «О плавающих телах», в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механических предпосылок на первых порах начала развиваться гидростатика, для развития которой мог быть использован математический аппарат геометрии Эвклида, а затем, после того как были созданы основы механики и основы дифференциального и интегрального исчисления, начала развиваться и гидродинамика идеальной несжимаемой жидкости. Таким образом, более раннее возникновение гидростатики и гидродинамики идеальной жидкости обусловлено прежде всего тем, что потребности практики человека вынуждали использовать давление жидкости в качестве активного фактора, по этой же причине происходило и более интенсивное развитие указанных разделов гидродинамики и в последующее время.

Совершенно иначе обстояло дело с возникновением гидродинамики вязкой жидкости, учитывающей, помимо давления, внутреннее трение частиц жидкости и внешнее трение частиц о твёрдые стенки. Эти дополнительные силы не могли быть использованы в практике человека в качестве активного фактора, и поэтому знакомство с реальным проявлением этих сил могло произойти значительно позднее, чем знакомство с проявлением давления жидкости.

Из истории развития техники в период так называемой эпохи возрождения XV и XVI вв. можно установить, что устройство каналов, водопроводов и других гидротехнических сооружений побуждало отдельных исследователей, в том числе Микель Анджело, Леонардо да Винчи и др. проводить наблюдения и измерения (с помощью двойного поплавка) скоростей течения воды в каналах. С помощью этих наблюдений и измерений можно было обнаружить различие скоростей движения воды по мере удаления от свободной поверхности ко дну канала и по мере удаления от средней линии канала к боковым стенкам. В этих случаях и могло произойти знакомство с проявлением действия внешнего трения и внутреннего трения частиц жидкости. Однако потребности практики тогда ещё не вынуждали к изучению самих закономерностей трения в жидкости. Это случилось позднее в связи с необходимостью учёта сопротивления среды при движении ядер орудий.

Вся вторая часть гениального творения Ньютона «Математические начала натуральной философии» посвящена изучению движения тел с учётом сопротивления среды. В ней имеется много ссылок на результаты наблюдений и непосредственных опытов. В этой части книги впервые была сформулирована та гипотеза, которая послужила

исходным началом для всей теории движения жидкости с учётом её вязкости. Эта гипотеза сформулирована следующим образом: «Сопротивление, происходящее от недостатка скользкости жидкости, при прочих одинаковых условиях предполагается пропорциональным скорости, с которою частицы жидкости разъединяются друг от друга». В качестве примера рассматривается круговое движение в отделе IX, второй абзац которого начинается словами: «так как жидкость однородная, то взаимодействия слоёв друг на друга (по гипотезе) будут пропорциональны их перемещениям друг по другу и величине тех поверхностей, по которым взаимодействия происходят». Таким образом, сам Ньютон рассматривал предположение о пропорциональности напряжения вязкости относительной скорости движения соприкасающихся частиц только как гипотезу. В рассматриваемой задаче о круговом движении жидкости условие равномерности движения взято Ньютоном для сил, а не для моментов; в результате этого решение задачи, полученное Ньютоном, было ошибочным. Впервые на эту ошибку указал Стокс спустя 158 лет после выхода книги Ньютона.

Хотя гипотеза Ньютона о вязкости жидкости была выдвинута ещё до того, как начали закладываться основы науки о движении жидкости вообще, всё же развитие этой науки не пошло по линии одновременного учёта и давления и вязкости жидкости. В течение более полутораста лет гипотеза Ньютона о вязкости жидкости оставалась без употребления, и наука о движении жидкости развивалась только по линии учёта одного давления. Такой ход развития гидродинамики следует объяснить в первую очередь тем качественным различием служебных ролей в развитии техники давления и вязкости, о котором мы говорили выше. Кроме того, с развитием техники увеличивалось количество тех областей практики, в которых давление жидкости или газа использовалось в качестве активного фактора, тогда как необходимость считаться с наличием внешнего и внутреннего трения жидкости начала только обнаруживаться в небольшом числе случаев. Наконец, такой ход развития гидродинамики следует объяснить и тем, что для учёта одного лишь давления жидкости все возможности были подготовлены уже на первых ступенях развития общей механики и высшей математики, тогда как для учёта вязкости такие возможности стали создаваться значительно позже.

С того момента, как были созданы основы общей механики и дифференциального исчисления, к концу XVII в., созрели все возможности для развития гидростатики и гидродинамики идеальной жидкости. Общие уравнения равновесия жидкости с учётом действия массовых сил, содержащие частные производные от неизвестной функции давления, были даны в 1743 г. в работе Клеро «Теория

фигуры Земли». Открытие принципа Даламбера, сводящего задачи о движении к задачам о равновесии сил, позволило тому же Даламберу в 1752 г. в работе «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» от уравнений равновесия жидкости перейти весьма просто к дифференциальным уравнениям движения жидкости с учётом одного лишь давления. Однако вполне законченную форму уравнения движения идеальной жидкости получили лишь в 1755 г. в мемуаре Эйлера «Общие принципы движения жидкости», в котором впервые получает своё математическое оформление в виде уравнения неразрывности закон М. В. Ломоносова о сохранении массы. Присоединение к уравнениям движения уравнения неразрывности позволило замкнуть систему дифференциальных уравнений для случая несжимаемой идеальной жидкости в том смысле, что число уравнений стало совпадать с числом неизвестных функций. При этом в качестве неизвестных функций стали рассматриваться проекции вектора скорости и давление, отнесённые не к фиксированной частице жидкости, а к фиксированной геометрической точке. Таким образом, переход от общих уравнений равновесия жидкости к общим уравнениям движения жидкости с учётом одного лишь давления на основе предположения о несжимаемости жидкости произошёл в течение весьма короткого времени —с 1743 по 1755 г. Для этого перехода потребовалось только введение в рассмотрение, помимо скалярного поля давлений, векторного поля скоростей. При этом были использованы гипотеза о сплошности жидкой среды и гипотеза о непрерывности и дифференцируемости функций давления и проекций вектора скорости.

Развивая гидродинамику идеальной жидкости, многие исследователи всё же не только допускали возможность существования трения жидкости о стенки, но и считали наличие этого трения основной причиной расхождения теоретических результатов с результатами наблюдений и измерений. Так, например, Д. Бернулли в своей книге «Гидродинамика» на страницах 58—59 после проведения сравнения результатов расчёта с результатами измерений для случая течения в коленчатой трубке пишет следующее: «Эти огромные расхождения я приписываю действию главным образом прилипания воды к стенкам трубки, которое в таких случаях может играть весьма большую роль, ибо когда я пользовался трубкой с диаметром, немногим больше двух линий, тогда получалось более лучшее совпадение, чем для трубки с большим диаметром. Кроме того, вероятно, что и кривизна трубки в её нижней части также несколько уменьшает скорость движения воды».

Однако про Эйлера известный французский механик и гидравлик Прони в 1804 г. писал следующее: «Заслуживает сожаления

и даже удивления то обстоятельство, что прославленный Эйлер, который на страницах своих обширных трудов отводит столько внимания разрешению физико-математических проблем и их применению к практическим вопросам, не попытался пересмотреть теорию жидкости, принимая во внимание сцепление молекул и некоторого рода трение; даже если бы он включил в анализ эти факторы в чисто гипотетической форме, было бы интересно знать его мнение об их влиянии; я не знаю, однако, ни одной статьи, где бы эти факторы упоминались».

Приведенные выше, слова Д. Бернулли и Прони свидетельствуют о том, что многие исследователи осознавали необходимость учёта внешнего и внутреннего трения при движении жидкости, но не находили ещё возможности для такого учёта в самих уравнениях движения жидкости.

Развитие техники в XVIII столетии вынуждало многих учёных (Купле, Шези, Дюбуа, Боссю, Жирар и др.) проводить экспериментальные исследования над течениями воды в трубах и каналах. Некоторые из этих исследователей (Шези и Боссю) пытались составлять уравнения равномерного движения воды в канале с учётом сопротивления трения о стенки в предположении, что это сопротивление пропорционально квадрату средней по сечению канала скорости. В конце XVIII столетия были опубликованы результаты экспериментальных исследований Кулона по определению сопротивления трения с помощью крутильных колебаний диска в жидкости.

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления, но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости — Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости.

Первые теоретические исследования по вопросу об общих уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости были проведены Навье.

Устное сообщение в Парижской Академии наук об этих исследованиях было сделано в 1822 г., а опубликованы они в журнале за 1827 г.. В начале своего мемуара Навье указывает на то, что при изучении движения жидкости необходимо учитывать существование особых молекулярных сил взаимодействия. Однако из последующих рассуждений Навье можно обнаружить, что под термином «молекулярных сил» подразумевались не силы взаимодействия между отдельными действительными молекулами жидкости в современном понимании этих слов, а силы взаимодействия между малыми частицами, на которые мысленно можно разложить сплошную среду, обусловленные изменением расстояния между ними при движении жидкости.

Таким образом, в работе Навье с самого начала используется гипотеза о сплошности жидкой среды, и предположение о непрерывности деформирования частицы жидкости. Навье вводит в рассмотрение разность векторов скоростей в двух соседних точках и устанавливает выражение для скорости абсолютного удлинения элементарного прямолинейного отрезка, соединяющего две соседние частицы. Таким образом, если у Ньютона при формулировании гипотезы о вязкости по существу речь шла о деформации простого сдвига частицы жидкости, то у Навье речь идёт уже о деформации удлинения отрезка произвольного направления. В своих дальнейших рассуждениях Навье использует следующую гипотезу: дополнительная к давлению сила взаимодействия между двумя соседними частицами жидкости прямо пропорциональна скорости абсолютного удлинения расстояния между ними. Коэффициент пропорциональности считается зависящим от расстояния так, что при удалении частиц друг от друга он должен стремиться к нулю, а при приближении этот коэффициент должен стремиться к конечному значению, отличному от нуля. Под дополнительной силой в своей гипотезе Навье понимал силу, приходящуюся на единицу объёма одной фиксированной частицы со стороны единицы объёма второй фиксированной частицы. По этой причине гипотеза Навье формально не совпадает с принимаемой в настоящее время обобщённой гипотезой Ньютона для вязкой несжимаемой жидкости, но по своему содержанию она всё же близка к ней. Чтобы оценить суммарное воздействие всех окружающих частиц жидкости на одну фиксированную частицу с единичным объёмом, Навье подсчитывает сумму всех элементарных работ рассматриваемых сил воздействия со стороны всех окружающих частиц жидкости на том элементарном перемещении, которое представляется вариацией абсолютной скорости удлинения. Суммирование этих элементарных работ проводится с помощью интегрирования по объёму всего пространства при использовании сферических координат с началом

в фиксированной точке. При выполнении вычислений вводится следующее обозначение:

где представляет собой коэффициент пропорциональности в указанной выше гипотезе Навье. Далее, с помощью принципа возможных скоростей Навье получает дифференциальные уравнения движенш вязкой несжимаемой жидкости в том именно виде, в котором используются и по настоящее время. В этих уравнениях коэффициент совпадает с коэффициентом вязкости Аналогичным путём вводится коэффициент внешнего трения и формулируется граничное условие на стенке в виде равенства сил внешнего и внутреннегс трения.

В IV главе работы Навье рассматривается прямолинейное неустановившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе прямоугольного сечения и в цилиндрической трубе круглого сечения под действием силы тяжести. Навье указывает на аналогию последней задачи с задачей теплопроводности для круглого цилиндра и даёт полное решение этой задачи в виде ряда по цилиндрическим функциям нулевого порядка. Из этого решения Навье получает как предельный случай и решение задачи о прямолинейном установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе под действием силы тяжести. Полагая в этом решении радиус трубки очень малым, Навье получает следующее выражение для средней скорости течения:

где — плотность, — угол наклона оси трубы к горизонту, R — радиус трубы и Е — коэффициент внешнего трения. Согласно полученной формуле средняя скорость течения в трубке с малым диаметром будет пропорциональна первой степени диаметра. Получив этот результат, Навье отмечает, что этот результат согласуется с результатами экспериментальных исследований Жирара. Это последнее обстоятельство, повидимому, и остановило Навье от дальнейшего анализа полученной им общей формулы для скорости установившегося движения в цилиндрической трубке. А между тем, если исходить из общей формулы Навье и устремить коэффициент внешнего трения к бесконечности с учётом принимаемого граничного условия на стенке, то можно вывести формулу, получившую позднее название формулы Пуазейля, согласно которой средняя скорость будет пропорциональна не первой степени диаметра, а второй.

Таким образом, в цитированной выше работе Навье были получены не только полные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, содержащие постоянный коэффициент вязкости, но и граничные условия на стенке в своей общей форме и решения отдельных задач о неустановившемся прямолинейном движении жидкости.

Вскоре после опубликования работы Навье в 1829 г. было сделано устное сообщение в Парижской Академии наук об исследованиях Пуассона общих уравнений равновесия и движения упругих тел и жидкости. Эти исследования Пуассона были опубликованы в 1831 г. В первом параграфе своего большого мемуара Пуассон различает два вида сил: 1) силы притяжения, не зависящие от природы тел, пропорциональные произведению их масс и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними, и 2) силы притяжения или отталкивания, зависящие в первую очередь от природы частиц и количества содержащейся в них теплоты; интенсивность этих сил весьма сильно убывает с увеличением расстояния между частицами. Весь мемуар Пуассона по существу посвящён вычислению механического эффекта именно вторых сил и выводу уравнений равновесия упругих тел (§ 3), уравнений равновесия жидкости с учётом капиллярного натяжения (§ 5) и уравнений движения жидкости учётом внутреннего трения жидкости (§ 7). При выводе соотношений, связывающих проекции соответственных сил, представляющих по современной терминологии нормальные и касательные напряжения на трёх взаимно перпендикулярных элементарных площадках, с производными по Координатам от проекций вектора скорости, используются соответственные соотношения для напряжений в упругом теле с помощью следующих рассуждений. Общий промежуток времени t делится на равных малых промежутков времени т. В первый интервал времени после воздействия внешних сил жидкость смещается как упругое тело, поэтому распределение напряжений будет связано с распределением смещений так же, как и в упругом теле. Если внешние силы, вызы вавшие смещение, перестают действовать, то частицы жидкости быстро приходят в такое расположение, при котором давление по всем направлениям становится одинаковым, т. е. касательные напря жения исчезают. За это время перераспределения расположения частиц происходит, таким образом, переход состояния напряжений, отвечаю щего упругому деформированию, в состояние напряжений давлений, отвечающее состоянию равновесия жидкости. Если же причина смещения продолжает своё действие и в течение второго интервала времени, то, предполагается, что различные малые смещения будут происходить независимо от предшествующих и что новые смещения

частиц во втором интервале времени будут происходить так же, как и в первом. Предполагая бесконечно большим, мы придём к тому, что жидкость будет в начале каждого следующего бесконечно малого интервала времени деформироваться как упругое тело, а к концу этого интервала времени состояние упругих напряжений будет перерождаться в состояние давлений, одинаковых по всем направлениям. С помощью такого рода рассуждений Пуассон и устанавливает впервые те соотношения, согласно которым дополнительные к давлению напряжения при движении жидкости линейно зависят от соответственных скоростей деформаций частицы. Касательные напряжения по соотношениям Пуассона получаются пропорциональными скоростям сдвига. Что же касается соотношений для нормальных напряжений, то в них, помимо давления и слагаемых, пропорциональных величинам скоростей удлинений отрезков, входят два дополнительных слагаемых, из которых первое пропорционально относительному изменению во времени плотности, а второе — пропорционально изменению во времени давления. Соотношения Пуассона содержат три постоянные, из которых одна постоянная совпадает с постоянной, введённой Навье, и представляет собой коэффициент вязкости, входящий в формулу гипотезы Ньютона о вязкости. Вторая постоянная представляет собой коэффициент объёмной вязкости или второй коэффициент вязкости. Третья постоянная Пуассона в последующих работах совершенно не была принята во внимание.

Используя эти соотношения для напряжений, Пуассон, далее, получает дифференциальные уравнения движения жидкости, по внешней форме совпадающие с уравнениями Навье. Различие состоит только в том, что. давление заменено в уравнениях Пуассона через некоторую функцию, содержащую, кроме давления, производные по времени от давления и плотности. Чтобы замкнуть систему уравнений, Пуассон присоединяет к ней уравнение неразрывности в общей форме с учётом изменения плотности и уравнение физического состояния, связывающего плотность, давление и температуру. К этим уравнениям присоединяется уравнение теплопроводности в своей простейшей форме, т. е. без учёта конвекции. Таким образом, в мемуаре Пуассона впервые были введены соотношения, выражающие линейную зависимость тензора дополнительных напряжений жидкости при её движении от тензора скоростей деформаций частицы, и установлены дифференциальные уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости.

Одновременно с Навье и Пуассоном уравнениями равновесия упругого тела занимался и Коши. Но исследования Коши по своему методу существенно отличаются от исследований Навье и Пуассона. В работах Коши последовательно используются понятия напряжения и относительных деформаций, представления о поверхности напряжений и поверхности деформаций, представления о главных напряжениях и главных относительных удлинениях и основная гипотеза

о том, что главные напряжения в каждой точке упругого тела пропорциональны соответственным главным удлинениям. Но наряду с упругим телом Коши рассматривал и неупругое тело и жидкость. В своей основной работе, сообщение по которой было сделано ещё в 1822 г., в § 3 Коши рассматривает движение внутри неупругой среды и вместо проекций смещений вводит проекции вектора скорости смещения и свою основную гипотезу формулирует так: главные напряжения в каждой точке пропорциональны мгновенным главным удлинениям или сжатиям. На основании этой гипотезы Коши получает дифференциальные уравнения, отличающиеся от современных уравнений движения вязкой жидкости только отсутствием слагаемого с давлением. Затем он видоизменяет свою гипотезу, полагая напряжение состоящим из двух слагаемых, из которых первое считается пропорциональным мгновенным сжатиям или расширениям, а второе считается зависящим только от положения точки. Далее, второе слагаемое принимается пропорциональным скорости объёмного расширения. Вследствие этого получаются дифференциальные уравнения, сходные с уравнениями движения вязкой сжимаемой жидкости. Таким образом, Коши, создавая основные понятия теории упругости, вместе с этим установил и некоторые основные понятия теории движения вязкой жидкости.

В статье, опубликованной в 1843 г., Сен-Венан ссылается на цитированные выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных частиц. Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошения и главных тангенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида соотношений: 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и пропорциональности касательных напряжений соответственным скоростям сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений со скоростью объёмного расширения. Из этих соотношений Сен-Венан получает соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжения. В другой статье, в том же томе Докладов Парижской Академии наук (стр. 1108—1115) Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения

в канале прямоугольного сечения со свободной поверхностью. При этом сила внешнего трения на дне и боковых стенках представляется в виде суммы двух слагаемых, из которых одно пропорционально первой степени скорости, а второе — второй степени. Нелинейность граничных условий создаёт затруднения в удовлетворении условиям. Граничные условия на стенках удовлетворяются только в ряде точек.

В первой половине XIX в. во Франции наряду с рассмотренными выше теоретическими исследованиями по основам гидродинамики вязкой жидкости продолжались и экспериментальные исследования течений жидкости в трубах и каналах. В частности, под влиянием запросов медицинской практики Пуазейлем были проведены тщательные опытные исследования течения воды в узких капиллярных трубках, внутренний диаметр которых менялся от 0,013 до 0,65 мм. Результаты этих исследований были опубликованы в трёх статьях, а затем в большом отдельном мемуаре. На основании результатов своих опытных исследований Пуазейль установил получившую широкое распространение формулу, согласно которой секундный расход жидкости через сечение капиллярной трубки прямо, пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра. Для коэффициента пропорциональности Пуазейлем была установлена формула зависимости его от температуры воды, но не указана связь его с коэффициентом вязкости. Такая связь позднее была установлена Стоксом на основании теоретического решения задачи о прямолинейном течении в цилиндрической трубке.

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости получили своё окончательное обоснование и признание только после работы Стокса 4), в которой движение частицы раскладывается на поступательное, вращательное, равномерное расширение или сжатие и движение, обусловленное деформациями сдвига. Дополнительные к давлению напряжения ставятся в зависимость только от движений, обусловленных деформациями частицы. Затем используются положения о главных осях напряжений и деформаций и в качестве наиболее вероятной принимается гипотеза о пропорциональности дополнительных

главных напряжений скоростям деформации главных удлинений. После этого производится переход к общим соотношениям связи напряжений со скоростями деформаций, содержащим две постоянные, и к общим уравнениям движения вязкой жидкости. Далее, Стокс указывает на возможность отбрасывания нелинейных слагаемых из уравнений при изучении сравнительно медленных движений (колебаний маятника в воде, колебания сосудов с водой и др.). В качестве примера рассматривается неустановившееся прямолинейное движение с учётом сжимаемости воздуха и впервые производится оценка влияния внутреннего трения на интенсивность звука и периоды колебаний воздуха. Затем рассматривается установившееся прямолинейное движение несжимаемой жидкости под действием силы тяжести, и для случая кругового сечения Стокс получает формулу Пуазейля для средней скорости. При рассмотрении кругового движения жидкости Стокс указывает на то, что гипотеза Ньютона о вязкости совпадает с его гипотезой в рассматриваемом частном случае, но полученное Ньютоном решение этой задачи является ошибочным. В своей второй работе Стокс даёт обзор исследований Навье, Пуассона, Коши и Сен-Венана по уравнениям движения вязкой жидкости и на основе анализа экспериментальных данных приходит к выводу о том, что в качестве граничного условия на стенке можно брать условие прилипания. В последующих работах Стокса доказывается теорема о рассеянии энергии при движении вязкой жидкости, решается задача об обтекании шара при отбрасывании квадратичных членов инерции и пр.

Таким образом, после работ Стокса дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости находят себе конкретное применение при решении отдельных задач. При этом теоретические решения отдельных задач подтверждались тогда и результатами опытов, но при сравнительно малых скоростях движения жидкости. Особенное значение приобрело решение задачи об установившемся течении жидкости в цилиндрической трубке, полностью согласующееся с экспериментальной формулой Пуазейля. Благодаря этому обстоятельству формула Пуазейля стала широко использоваться для экспериментального определения коэффициента вязкости различных жидкостей. Кроме того, следует отметить и то, что с работ Стокса начинаются попытки упрощения нелинейных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Отбрасывание квадратичных членов инерции позволило Стоксу и целому ряду последующих исследователей найти теоретические решения многих задач, подтверждаемые опытами при малых скоростях движения жидкости. Некоторые из этих теоретических решений послужили основанием для разработки других методов определения вязкости жидкостей в тех случаях, когда метод истечения становится непригодным.

Особой датой в развитии гидродинамики вязкой жидкости является 1883 г. в связи с появлением работ Н. П. Петрова по теории смазки и О. Рейнольдса по теории турбулентности.

Применение колёсных повозок, блоков и других приспособлений с вращением отдельных деталей вынуждало с давних пор к использованию смазки, т. е. к замене сухого трения между двумя соприкасающимися поверхностями жидкостным трением. Заслуга выдающегося русского учёного и инженера Н. П. Петрова и заключается в том, что он впервые обратил внимание на эту технически важную проблему, привлёк к её разрешению основную гипотезу о вязкости жидкости, дал всесторонний анализ полной возможности применения этой гипотезы к течению жидкости в смазочном слое, дал строгое решение задачи для случая кругового движения частиц жидкости с учётом внешних трений и провёл огромное количество целеустремлённых и научно обоснованных опытов. Основная работа Н. П. Петрова «Трение в машинах и влияние на него смазывающих жидкостей» была опубликована в «Инженерном журнале» за 1883 г., а всего по этой проблеме им было написано 19 работ. Заслуги Н. П. Петрова признаны всеми учёными и он назван «отцом гидродинамической теории жидкостного трения». Однако не следует упускать из виду и большую заслугу Н. П. Петрова в том, что он впервые с помощью большого количества вычислений и сопоставлений с результатами опытов превратил гипотезу Ньютона о вязкости в закон о вязкости, вполне применимый к условиям течения в смазочном слое.

Проблема гидродинамической теории смазки оказала решающее влияние на развитие гидродинамики вязкой жидкости не только потому, что открылись новые возможности для применения общих уравнений движения вязкой жидкости и приближённых уравнений с отброшенными квадратичными членами к практически весьма важной задаче, но также и потому, что открылись новые возможности для упрощения сложных уравнений движения жидкости. В этом отношении заслуга принадлежит выдающемуся английскому учёному О. Рейнольдсу, который при рассмотрении течения в смазочном слое вполне обосновал возможность отбрасывания в уравнениях не только квадратичных членов инерции, но и большинства слагаемых от вязкости. Благодаря этому обстоятельству уравнения движения жидкости в смазочном слое резко упрощаются, и в связи с этим представились возможности в ряде случаев довести решения до простых формул, позволяющих, в частности, просто оценивать так называемый «клиновидный эффект» от эксцентричного расположения шипа в подшипнике.

К решению проблемы теории смазки было привлечено внимание многих учёных, в том числе и таких корифеев науки, как

Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин. Этому вопросу Н. Е. Жуковский посвятил три работы. В своей первой работе он впервые ставит вопрос: «Откуда же берётся сила, уравновешивающая давление шипа на подшипник?», и даёт ответ на этот вопрос в § 2, указав предварительно на то, что возрастание давления в слое «могло быть получено при рассматривании движения весьма тонкого жидкого слоя, заключённого между двумя неконцентрическими цилиндрическими поверхностями». Таким образом, основная причина несущей способности вращающегося шипа в подшипнике была раскрыта одновременно О. Рейнольдсом и великим механиком Н. Е. Жуковским. Кроме того, заслуга Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина заключается и в том, что они дали более строгое решение всей задачи при эксцентричном расположении шипа в подшипнике без отбрасывания членов от вязкости, тогда как О. Рейнольдс ограничился только приближённым решением.

В 1883 г. были опубликованы результаты больших экспериментальных исследований О. Рейнольдса по течению воды в трубах. Эти исследования, во-первых, послужили началом для развития теории подобия течений жидкости с учётом вязкости, и основанием для введения основного критерия подобия — критерия Рейнольдса, во-вторых, явились толчком к попыткам теоретического исследования устойчивости ламинарных течений вязкой жидкости и, в-третьих, послужили началом систематических экспериментальных и теоретических исследований турбулентных течений жидкости. Теоретические исследования О. Рейнольдса по теории турбулентности были опубликованы в 1895 г.

В развитии экспериментальных и теоретических исследований по гидродинамике вязкой жидкости в России сыграла большую роль монография Д. И. Менделеева. В этой монографии дан критический обзор исследований по вопросам сопротивления жидкостей и воздуха, начиная с середины XVII в. и кончая 70-ми годами XIX в. В ряде пунктов Д. И. Менделеев пишет о роли в сопротивлении жидкости внутреннего трения частиц и, в частности, на стр. 91 пишет о прилипании жидкости к поверхности движущегося тела и о наличии некоторого слоя, примыкающего к поверхности этого тела, в котором скорость движения частиц будет больше, чем в соседних слоях. Эта идея о пограничном слое получила своё дальнейшее развитие позднее в работах Л. Прандтля.

В первой четверти XX в. развитие гидродинамики вязкой жидкости происходило преимущественно по двум направлениям: 1) разработки вопросов теории пограничного слоя и 2) использования уравнений движения жидкости с частичным учётом квадратичных членов инерции.

Начало работ первого направления было положено статьёй Л. Прандтля. Работы второго направления были начаты с исследований Озеена. Общее между работами этих двух направлений заключается лишь в том, что квадратичные члены в уравнениях движения полностью не отбрасываются; в теории пограничного слоя эти члены учитываются полностью в первом уравнении, а в исследованиях Озеена эти члены учтены частично, но во всех уравнениях. Существенное же различие исследований по этим двум направлениям отражается в порядках величин чисел Рейнольдса, при которых результаты исследований согласовываются с результатам опытных измерений; результаты решений задач по теории пограничного слоя находят хорошее подтверждение при весьма больших значениях числа Рейнольдса, тогда как результаты исследований Озеена и его последователей с качественной стороны хорошо подтверждается наблюдениями, а с количественной стороны находят подтверждение лишь при малых числах Рейнольдса. В уравнениях Озеена, так же как и в приближённых уравнениях Стокса, слагаемые от вязкости учитываются полностью. Следовательно, метод Озеена можно рассматривать как развитие метода Стокса в сторону частичного учёта инерционных членов. В уравнениях пограничного слоя слагаемые от вязкости учитываются так же, как они учитывались в уравнениях Рейнольдса для смазочного слоя. Таким образом, теорию пограничного слоя жидкости можно рассматривать как естественное развитие приближённой теории смазочного слоя в сторону полного учёта квадратичных членов инерции в основном уравнении движения жидкости.

Работы, опубликованные во второй четверти XX в. по вопросам гидродинамики вязкой жидкости, содержат большей частью результаты экспериментальных и теоретических исследований: 1) по приближённым методам теории пограничного ламинарного и турбулентного слоя сжимаемой и несжимаемой жидкости, 2) по полуэмпирическим теориям турбулентности, 3) по статистическим теориям турбулентности, 4) по теории развития ламинарных течений, 5) по теории свободных струй, 6) по прикладной теории жидкостного трения в подшипниках и др. Данные о всех этих исследованиях можно найти в книгах: «Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости» под редакцией С. Гольдштейна т. I, II, Москва, 1948 и «Механика в СССР за 30 лет», Москва, 1950.