§ 3. Дифференциальные уравнения осреднённого движения жидкости

Как уже было указано в § 1, турбулентное движение жидкости характеризуется неупорядоченностью траекторий отдельных частиц, наличием пульсаций скоростей и давлений во времени и интенсивным обменом всеми качествами между соседними областями течения. Всё это создаёт весьма большие трудности для теоретического изучения закономерностей турбулентного движения жидкости. Первая попытка теоретического подхода к изучению турбулентного движения жидкости была предпринята О. Рейнольдсом в цитированной выше работе. Им были установлены дифференциальные уравнения осреднённого движения жидкости и введён в рассмотрение тензор пульсационных напряжений.

В качестве исходной гипотезы принимаем, что и при турбулентном характере движения среди дифференциальные уравнения переноса массы ((1.9) гл. II) и количества движения ((2.13) гл. II) остаются справедливыми. Если к тому же жидкость считать несжимаемой, то при этой гипотезе дифференциальные уравнения полного турбулентного движения представляются в виде

Вводим теперь операцию осреднения по времени, полагая, например,

Выполняем затем операцию разложения всех входящих в уравнения (3.1) величин, кроме массовых сил, на осреднённые по времени значения и пульсации

На основании определения осреднения (3.2) осреднённые значения как самих пульсаций величин, так и их произведений на осреднённые значения других величин будут обращаться в нуль, т. е.

Самый факт использования уравнений (3.1) означает, что все величины предполагаются непрерывными и дифференцируемыми по всем переменным, а поэтому можно операции дифференцирования по параметрам в (3.2) выполнять под знаком интеграла. Иначе говоря, операции дифференцирования по геометрическим координатам и операция осреднения по времени могут переставляться. В силу этого будем иметь:

(пропущенная страница)

Обе группы полученных уравнений (3.8) и (3.9) в явной форме указывают на то, что между осреднённым и пульсационным движением несжимаемой жидкости имеет место сложное взаимодействие. Сопоставляя правую часть первого уравнения (3.8) с правой частью первого уравнения (3.1), мы видим, что воздействие пульсационного движения на осреднённое движение жидкости эквивалентно воздействию дополнительного тензора напряжений, который получил название тензора пульсационных напряжений. Тензор пульсационных напряжений состоит из трёх векторов:

представляющих собой осреднённые по времени векторы потоков количеств движения (отнесённых к единице площади и к единице времени) от пульсационного движения жидкости через три взаимно перпендикулярные площадки, проведённые в произвольной точке внутри объёма с жидкостью. Если спроектировать векторы (3.10) на оси координат, то тензор пульсационных напряжений можно представить в виде следующей таблицы девяти компонент:

В дифференциальные уравнения (3.8) входят три вектора осреднённого по времени тензора напряжений Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства

Если провести разложение всех величин в (3.12) на осреднённые и пульсационные значения, а затем провести осреднение (3.12) по времени, то получим соотношения для осреднённых компонент

напряжения

Составляя разности соответственных равенств (3.12) и (3.13), получим выражения для компонент пульсаций напряжения

Если спроектировать левую и правую части первого уравнения (3.8) на оси координат, а затем подставить значения компонент осреднённого напряжения из (3.13), то получим следующие дифференциальные уравнения осреднённого движения несжимаемой жидкости:

где и т. д. — компоненты пульсационных напряжений, представленные в явной форме в таблице (3.11).

Дифференциальные уравнения осреднённого движения (3.15) содержат десять неизвестных функций, к которым, помимо трёх компонент вектора скорости и давления, относятся и шесть компонент тензора пульсационных напряжений. Чтобы систему уравнений (3.15) сделать замкнутой, необходимо присоединить дополнительные соотношения, связывающие неизвестные функции. Такие дополнительные соотношения можно, конечно, составить только с помощью тех или иных гипотез, правильность которых в ограниченных пределах может быть установлена только косвенным путём, например с помощью сравнения результатов расчёта для частных задач с результатами соответственных измерений. Последним обстоятельством и следует объяснить тот факт, что первые попытки введения дополнительных соотношений между неизвестными функциями в уравнениях (3.16) относятся как раз к наиболее простейшему случаю осреднённого движения, каковым является прямолинейное движение между неподвижными параллельными стенками. Закономерности установившегося турбулентного движения в цилиндрической трубе, как уже было указано выше, хорошо были изучены экспериментально. Имеется много косвенных оснований к тому, чтобы считать закономерности установившегося турбулентного движения между неподвижными стенками достаточно близкими к закономерностям турбулентного движения в трубе. А раз это так, то естественно было вначале ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинами для прямолинейного осреднённого движения между параллельными стенками, провести соответственные расчёты и затем сравнить результаты этих расчётов с результатами измерений. По этому пути и развивались некоторые теории, которые получили название полуэмпирических теорий турбулентности.

Компоненты тензора пульсационных напряжений (3.11) составлены из проекций вектора скорости пульсации в одной точке потока. Если ввести в рассмотрение проекции двух векторов скоростей пульсации в двух точках потока, то можно образовать из них группу парных произведений и затем их осреднить по времени. Таким путём мы получим новый тензор, который получил название тензора моментов связи второго порядка

где — проекции вектора скорости пульсации в одной точке, а — проекции вектора скорости пульсации во второй точке. Аналогичным путём можно составить группу моментов связи между пульсационными скоростями, третьего порядка

Дифференциальные уравнения турбулентного движения с использованием моментов связи различных порядков были предложены

впервые А. А. Фридманом и Л. В. Келлером. С введением моментов связи увеличивается количество неизвестных функций, и количество соответственных уравнений и выравнивание числа уравнений с числом неизвестных функций могут быть произведены с помощью отбрасывания моментов высших порядков, как это, например, сделано в работе М. Д. Миллиошцикова.

Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова, Л. Г. Лойцянского и др.

В статьях В. Г. Невзглядова была сделана попытка ввести дополнительные соотношения по аналогии с (3.13) между тензором пульсационных напряжений и тензором скоростей деформаций от осреднённого движения с той лишь разницей, что вместо постоянного коэффициента вязкости вводится переменный коэффициент, турбулентного объёма, зависящий в общем случае от инвариантов тензора скоростей деформации.