§ 5. Прямолинейное движение вязкой жидкости в цилиндрической трубе

Дифференциальное уравнение Пуассона (1.8) в полярных координатах представляется в виде

Будем предполагать, что установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе обладает осевой симметрией, т. е.

При этом предположении уравнение (5.1) примет вид

Обозначая радиус трубы через а, записываем граничное условие:

Представляя дифференциальное уравнение (5.3) в виде

и проводя последовательно два интегрирования, получим общее решение рассматриваемого уравнения

Так как определяемая скорость и должна быть конечной при всех значениях , а найденное общее решение обращается в бесконечность при т. е. на оси трубы, то мы должны положить:

Используя граничное условие (5.4), получим:

Таким образом, распределение скоростей по сечению цилиндрической грубы будет параболическим, т. е. будет представляться следующей формулой:

Распределение же силы вязкости, приходящейся на единицу площади, по сечению будет линейным:

Через элементарное кольцо ширины будет проходить количество жидкости, равное

Следовательно, полный расход Q через сечение равен

Подставляя значение а из (5.6) и проводя интегрирование, получим следующую формулу Пуазейля для расхода:

Формула (5.9) показывает, что при прямолинейном установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической круглой трубе расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы, четвёртой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.

Рис. 29.

Этот закон для расхода был экспериментально установлен Пуазейлем в 1840 г. при систематическом исследовании воды в узких трубках. Формула (5.9) широко используется для определения коэффициента вязкости капельных жидкостей. Простейшая схема прибора для определения вязкости составляется из цилиндрического сосуда, к дну которого прикреплена тонкая цилиндрическая трубка с краном на конце (рис. 29). Давление у входа в цилиндрическую трубку будет равно весу столба жидкости сложенному с атмосферным давлением а на выходе давление будет равно Разделив перепад давления на длину трубки I, получим:

Для определения расхода может быть использована шкала с делениями, прикрепленная к боковой поверхности цилиндра. Подставляя значение перепада давления (5.10) в (5.9), получим формулу для вычисления значения коэффициента вязкости по измеренным величинам расхода

где а — радиус трубы, — удельный вес жидкости.

Если поделить расход Q на всю площадь сечения, то получим среднюю скорость

Максимальная скорость будет иметь место на оси трубы

Таким образом, максимальная скорость будет вдвое больше средней:

Введём коэффициент сопротивления трубы А. Максимальное значение силы вязкости на стенке на основании (5.7) будет представляться в виде

За коэффициент сопротивления трубы берём отношение модуля максимального значения напряжения силы вязкости к кинетической энергии единицы объёма, т. е.

Подставляя в (5.15) значение перепада давления из (4.12) и вводя число Рейнольдса

получим следующее выражение для коэффициента сопротивления трубы:

Таким образом, коэффициент сопротивления цилиндрической труби при установившемся прямолинейном движении вязкой несжимаемой жидкости обратно пропорционален числу Рейнольдса.

Обычно зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса изображается на логарифмической диаграмме, в которой по оси абсцисс откладываются значения натурального логарифма чисел Рейнольдса, а по оси ординат — значения логарифма коэффициента. сопротивления. На такой диаграмме зависимость (5.17) будет представляться отрезком прямой, одинаково наклонённой к осям координат (рис. 30).

Рис. 30.

Рассмотренное прямолинейное движение вязкой жидкости в цилиндрической трубе называется ламинарным. Таким образом, для ламинарного движения в цилиндрической трубе характерны следующие необходимые признаки:

1) прямолинейность траекторий частиц,

2) параболический профиль распределения скоростей по сечению (5.6),

3) максимальная скорость вдвое больше средней,

4) график коэффициента сопротивления на логарифмической диаграмме представляется отрезком прямой, наклонённой к, осям под углом в 45°.

Подробные эксперименты и наблюдения показывают, что ламинарное движение в круглой цилиндрической трубе со всеми его перечисленными выше необходимыми признаками осуществляется лишь тогда, когда число Рейнольдса не превышает некоторого значения называемого критическим. Значение критического числа Рейнольдса лежит в пределах

Это условие осуществимости ламинарного движения в круглой цилиндрической трубе является необходимым, но не достаточным, так как на характер течения влияют ещё длина трубы и условия входа в трубу. Вторым условием осуществимости ламинарного движения в трубе служит условие, определяющее длину того начального участка, на протяжении которого может развиться ламинарное движение при любыз условиях входа жидкости в трубу. Об этом условии мы будем подробно говорить в главе X, пока же заметим, что длина l начального участка по данным теории и эксперимента должна удовлетворять следующему неравенству:

Если число Рейнольдса будет превышать критическое число Рейнольдса (5.18), то движение жидкости в трубе будет, вообще говоря, не ламинарным, а турбулентным. Основная особенность турбулентного движения вязкой жидкости заключается в беспорядочном характере

траекторий отдельных частиц жидкости. К необходимым признакам установившегося турбулентного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе, установленным с помощью наблюдений и измерений, относятся:

1) беспорядочность траекторий частиц,

2) почти равномерное распределение скоростей по сечению с резким уменьшением их до нуля в тонком слое вблизи стенки,

3) превышение максимальной скорости над средней порядка

4) график коэффициента сопротивления трубы на обычной диаграмме представляется кривой с медленно убывающим наклоном к оси абсцисс.

Рис. 31.

Если число Рейнольдса изменять непрерывно от малых значений до очень больших, то коэффициент сопротивления по данным экспериментов на обычной диаграмме представится графиком рис. 31. Этот график показывает, что переход ламинарного движения в турбулентное происходит не плавно, а скачком. При переходе через критическое значение числа Рейнольдса коэффициент сопротивления трубы увеличивается скачком, а затем медленно уменьшается.