§ 2. Общие формулы для результирующего воздействия жидкости на круглый цилиндр

Установим общие формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости при установившемся её движении на бесконечно длинный круглый цилиндр, имеющий поступательное движение и вращательное вокруг своей оси. Относительно вида и расположения других возможных границ жидкости никаких предположений делать пока не будем.

Вектор скорости центра сечения цилиндра плоскостью, параллельной плоскости движения жидкости, обозначим через U, а угловую скорость вращения — через . В рассматриваемый момент времени t выберем полярную ось в направлении вектора скорости U и полярный угол f будем отсчитывать против хода часовой стрелки (рис. 44). В полярных координатах граничные условия прилипания частиц жидкости к поверхности рассматриваемого цилиндра будут представляться в виде:

Так как равенства (5.1) будут выполняться при любом значении угла и

при неизменном значении полярного радиуса, то их можно дифференцировать частным образом по после чего будем иметь:

Уравнение несжимаемости жидкости (6.6) главы II в полярных координатах представляется в виде

Применяя уравнение несжимаемости (5.3) к частицам, непосредственно примыкающим к поверхности цилиндра, получим:

Рис. 44.

Используя условие (5.1) и вытекающие из него равенства (5.2), будем иметь:

Смысл равенства (5.4) заключается в том, что радиальная скорость деформации частиц вязкой несжимаемой жидкости, примыкающих к самой поверхности цилиндра, равна нулю. Компоненты вектора-вихря на основании (8.10) главы I будут представляться в виде

Используя равенства (5.1), (5.2) и (5.5) для значения вихря на границе цилиндра, получим:

Компоненты напряжений в полярных, координатах при плоско-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости на основании (6.5) главы II представляются в виде

Если мы теперь возьмём элементарную площадку на поверхности самого цилиндра и используем равенства (5.1), (5.2), (5.4), (5.6) и (5.7), то для нормальной и касательной компонент получим следующие выражения:

Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой жидкости на бесконечно длинный круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит от распределения давления и вихря вдоль поверхности самого

цилиндра. Заметим, что при выводе равенств (5.8) мы не предполагали движение жидкости установившимся и не пренебрегали квадратичными членами инерции. Умножая касательное напряжение (5.8) на элементарную площадку и плечо, т. е. на множитель и интегрируя по у, получим результирующий момент от сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр относительно его оси в виде

Проектируя компоненты напряжения (5.8) на направление х и перпендикулярное к нему, умножая полученные проекции на элемент дуги и интегрируя по у, получим следующие выражения для компонент главного вектора сил воздействия жидкости на рассматриваемый цилиндр:

Умножая второе равенство (5.10) на i и складывая с первым, получим;

Будем считать движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся и пренебрежём квадратичными членами инерции. Тогда, как показано в § 2, функция тока будет удовлетворять бигармоническому уравнению и для давления и вихря будут иметь место следующие равенства:

Постоянное слагаемое в выражении давления опущено.

Используя последнее равенство (5.12) и учитывая, что на границе цилиндра

получим для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр выражение в комплексной форме

Правая часть полученной формулы (5.13) совпадает с правой частью формулы (2.13) для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на произвольный замкнутый контур. Различие только в том, что формула (2.13) установлена для поступательного движения произвольного контура, тогда как формула (5.13) установлена для плоско-параллельного движения, но не произвольного контура, а только круглого цилиндра.

Так как на поверхности самого цилиндра мы будем иметь:

то формулу (5.9) для момента можно представить также в виде

или

Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит только от вида той функции комплексного переменного, через которую представляются давление и вихрь при отбрасывании квадратичных членов инерции.

В § 4 было показано, что при выполнении требования однозначности давления и скоростей функция может иметь следующий вид:

где представляет однозначную и голоморфную функцию в той области, которая не включает в себя других возможных границ, кроме контура f рассматриваемого круглого цилиндра.

Так как на основании (5.15) будем иметь:

то вектор результирующего воздействия жидкости на цилиндр из (5.13) будет представляться в виде

Проведём окружность с центром на оси рассматриваемого цилиндра и в области, заключённой между этой окружностью и контуром цилиндра, разложим функцию в ряд Лорана

Полагая в получим из (5.15) и (5.17):

В этом ряде положим:

тогда будем иметь:

Следовательно, вихрь на границе рассматриваемого цилиндра будет представляться в виде следующего ряда:

Умножая обе части равенства (5.18) на интегрируя по углу от О до и подставляя результат в формулу (5.9), получим для результирующего момента L следующую формулу:

Таким образом, результирующий момент сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр зависит только от коэффициента того слагаемого в ряде Лорана (5.17), которое содержит комплексное переменное z в первой степени.

На основании формул (5.16) и (5.19) мы приходим к выводу, что для определения результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении при отбрасывании квадратичных членов инерции надо:

1) после решения бигармонического уравнения для функции тока скорость представить в комплексной форме

где С представляет комплексное переменное, начало которого может и не совпадать с началом комплексного переменного

2) входящую в (5.20) функцию представить в виде

3) значения коэффициентов , и подставить в формулы (5.16) и (5.19)