Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Общие формулы для результирующего воздействия жидкости на круглый цилиндрУстановим общие формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости при установившемся её движении на бесконечно длинный круглый цилиндр, имеющий поступательное движение и вращательное вокруг своей оси. Относительно вида и расположения других возможных границ жидкости никаких предположений делать пока не будем. Вектор скорости центра сечения цилиндра плоскостью, параллельной плоскости движения жидкости, обозначим через U, а угловую скорость вращения — через
Так как равенства (5.1) будут выполняться при любом значении угла и при неизменном значении полярного радиуса, то их можно дифференцировать частным образом по
Уравнение несжимаемости жидкости (6.6) главы II в полярных координатах представляется в виде
Применяя уравнение несжимаемости (5.3) к частицам, непосредственно примыкающим к поверхности цилиндра, получим:
Рис. 44. Используя условие (5.1) и вытекающие из него равенства (5.2), будем иметь:
Смысл равенства (5.4) заключается в том, что радиальная скорость деформации частиц вязкой несжимаемой жидкости, примыкающих к самой поверхности цилиндра, равна нулю. Компоненты вектора-вихря на основании (8.10) главы I будут представляться в виде
Используя равенства (5.1), (5.2) и (5.5) для значения вихря на границе цилиндра, получим:
Компоненты напряжений в полярных, координатах при плоско-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости на основании (6.5) главы II представляются в виде
Если мы теперь возьмём элементарную площадку на поверхности самого цилиндра и используем равенства (5.1), (5.2), (5.4), (5.6) и (5.7), то для нормальной и касательной компонент получим следующие выражения:
Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой жидкости на бесконечно длинный круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит от распределения давления и вихря вдоль поверхности самого цилиндра. Заметим, что при выводе равенств (5.8) мы не предполагали движение жидкости установившимся и не пренебрегали квадратичными членами инерции. Умножая касательное напряжение (5.8) на элементарную площадку и плечо, т. е. на множитель
Проектируя компоненты напряжения (5.8) на направление х и перпендикулярное к нему, умножая полученные проекции на элемент дуги
Умножая второе равенство (5.10) на i и складывая с первым, получим;
Будем считать движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся и пренебрежём квадратичными членами инерции. Тогда, как показано в § 2, функция тока будет удовлетворять бигармоническому уравнению и для давления и вихря будут иметь место следующие равенства:
Постоянное слагаемое в выражении давления опущено. Используя последнее равенство (5.12) и учитывая, что на границе цилиндра
получим для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр выражение в комплексной форме
Правая часть полученной формулы (5.13) совпадает с правой частью формулы (2.13) для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на произвольный замкнутый контур. Различие только в том, что формула (2.13) установлена для поступательного движения произвольного контура, тогда как формула (5.13) установлена для плоско-параллельного движения, но не произвольного контура, а только круглого цилиндра. Так как на поверхности самого цилиндра мы будем иметь:
то формулу (5.9) для момента можно представить также в виде
или
Таким образом, результирующее воздействие вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит только от вида той функции В § 4 было показано, что при выполнении требования однозначности давления и скоростей функция
где Так как на основании (5.15) будем иметь:
то вектор результирующего воздействия жидкости на цилиндр из (5.13) будет представляться в виде
Проведём окружность с центром на оси рассматриваемого цилиндра и в области, заключённой между этой окружностью и контуром цилиндра, разложим функцию
Полагая в
В этом ряде положим:
тогда будем иметь:
Следовательно, вихрь на границе рассматриваемого цилиндра будет представляться в виде следующего ряда:
Умножая обе части равенства (5.18) на
Таким образом, результирующий момент сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр зависит только от коэффициента того слагаемого в ряде Лорана (5.17), которое содержит комплексное переменное z в первой степени. На основании формул (5.16) и (5.19) мы приходим к выводу, что для определения результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр при его плоско-параллельном движении при отбрасывании квадратичных членов инерции надо: 1) после решения бигармонического уравнения для функции тока скорость представить в комплексной форме
где С представляет комплексное переменное, начало которого может и не совпадать с началом комплексного переменного 2) входящую в (5.20) функцию
3) значения коэффициентов
|
1 |
Оглавление
|