§ 3. Диффузия вихревого слоя

Если плоская стенка начнёт перемещаться с постоянной скоростью U, то скорость прямолинейного движения частиц вязкой несжимаемой жидкости будет определяться по формуле (2.20). А теперь изменим постановку задачи. Пусть до момента времени частицы жидкости и стенка имели постоянную скорость U в отрицательном

направлении оси х. В момент стенка была внезапно остановлена. Требуется установить, как будет происходить торможение движения всей жидкости. Легко проверить, что решение этой новой задачи мы получим, если из правой части (2.20) вычтем скорость U, т. е. если положим:

Выражение в правой части (3.1) будет обращаться в нуль при и при и будет равно при Для всех промежуточных значений у от нуля до бесконечности скорость и будет отрицательной, т. е.

Рис. 81.

Распространим это решение (3.1) и для отрицательных значений у. Тогда будем иметь:

и при этом для значения скорость и будет равна U. Следовательно, выражение (3.1) для всего пространства будет означать то, что для начального момента времени частицы жидкости, расположенные выше оси , имели скорость —U, а частицы, расположенные ниже оси х, имели скорость и сама ось представляла собой скачок скоростей (рис. 81). Таким образом, функция (3.1) выражает собой рассасывание начального скачка скоростей благодаря вязкости жидкости.

Найдём теперь по скорости (3.1) значение вихря. В рассматриваемом случае вихрь будет представляться в виде

Для вычисления интеграла (3.2) поступаем следующим образом. Положим — b и обозначим интеграл через J, т. е.

Дифференцируя этот интеграл по параметру b, получим:

Выполняя интегрирование по частям, будем иметь:

Первое слагаемое в правой части при подстановке верхнего и нижнего предела обращается в нуль, а второе слагаемое представляет собой первоначальный интеграл с множителем Таким образом, получим следующее дифференциальное уравнение для

После разделения переменных и интегрирования будем иметь:

Отсюда

Полагая параметр b равным нулю и используя значение интеграла Пуассона, получим:

Подставляя значение С из (3.5) в (3.4) и значение интеграла (3.4) в (3.2), найдём конечное выражение для вихря скорости

Полученное выражение (3.6) показывает, что для начального момента вихрь всюду был равен нулю, кроме оси х. На оси же вихрь в начальный момент был равен бесконечности. На этом основании функцию (3.6) можно называть функцией источника вихревого слоя, расположенного на прямой и начавшего своё действие с момента Если же источник вихревого слоя будет расположен не на прямой а на прямой и начнёт свое

действие не с момента момента , то функция источника вихревого слоя будет представляться в виде

Рис. 82.

Правая часть (3.6) обращается в нуль при значении у, отличном от нуля, дважды: при и при Следовательно, по теореме Ролля в промежутке от до на каждой прямой интенсивность вихря будет достигать своего экстремального значения и график изменения вихря на этой прямой со временем будет примерно представляться в виде кривой, показанной на рис. 82. Положение точки максимума на этой кривой мы определим, если найдём производную от (3.6) по времени

и приравняем её нулю. В результате получим следующее выражение для времени наступления максимума завихрения на данной прямой, параллельной оси х:

Рис. 83.

Если мы зафиксируем момент времени t и будем рассматривать интенсивность вихря (3.6) как функцию только от переменного у, то получим график этой функции, изображённый на рис. 83. Этот график показывает, что на прямой интенсивность вихря будет максимальной для любого момента времени, но на основании (3.7) можно видеть, что с течением времени этот максимум будет убывать. Рассмотренное нами явление рассасывания вихревого слоя, имеющего место на оси х, и связанное с ним явление передачи вихря от одного слоя к другому называются диффузией вихревого слоя.

На множитель U в выражении (3.7) можно смотреть как на мощность источника вихревого слоя. Если вихревые слои будут заполнять целую полосу от до , то, вводя в рассмотрение

мощность вихря приходящуюся на единицу длины мы можем получить функцию источника от элемента длины полосы вихря в виде

Проводя интегрирование, получим функцию от непрерывного распределения источников вихревых слоёв

Можно ввести также в рассмотрение и непрерывную последовательность источников вихревого слоя во времени от момента до момента Для этого случая функция вихря равна

По функции источника вихревого слоя (3.7) можно образовать функцию диполя вихревого слоя с помощью дифференцирования (3.7) либо по параметру z, либо по параметру

Выражения (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) — частные решения дифференциального уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы получим из (2.1) с помощью дифференцирования по у:

Уравнение (3.13) совпадает с уравнением одномерной задачи теории теплопроводности, а введённые выше функции источника (3.7) и диполей (3.11) и (3.12) совпадают с соответственными функциями теплового источника и тепловых диполей.