§ 8. Применение теории пограничного слоя к вопросу о затухании вращения тела в потоке

Результаты теории пограничного слоя широко используются для подсчёта сопротивления трения при поступательном движении тел в вязкой среде. Однако эти результаты могут быть использованы также и при изучении отдельных случаев вращательного движения тела при набегании на него потока воздуха. Чтобы это показать, рассмотрим предварительно следующую задачу.

Рис. 73.

Допустим, что пластинка, имеющая в направлении оси х ширину обдувается потоком воздуха, скорость которого U на бесконечности параллельна оси х.

Сама же пластинка перемещается со скоростью V в положительном направлении оси z, перпендикулярно к своей ширине (рис. 73). Сообщим пластинке и всем частицам воздуха скорость V в направлении, обратном движению пластинки. В таком случае пластинка будет неподвижной, а частицы набегающего потока воздуха будут иметь вектор скорости численная величина которого будет равна

причём этот вектор скорости будет составлять с передним ребром пластинки угол определяемый равенством

Если мы будем проводить плоскости, параллельные результирующей скорости перпендикулярно к пластинке, то в каждой такой плоскости движение воздуха будет одинаковым, и, следовательно, мы можем данный поток рассматривать как плоско-параллельный. Иначе говоря, мы можем Ограничиться рассмотрением движения воздуха только в одной плоскости, проведённой через косой разрез АВ пластинки. При этом длина косого разреза пластинки будет равна

Рассматриваем теперь в плоскости проведённого разреза пограничный слой. Будем предполагать этот слой ламинарным. Если мы обозначим через расстояние какой-либо точки на пластинке от её переднего края, то на основании формул (2.22) и (2.15) толщина слоя 8 и сила вязкости равны

Разложим вектор силы вязкости на две составляющие, параллельные осям х и z. Составляющая, параллельная оси z, будет равна

Умножая обе части равенства (8.3) на и интегрируя от нуля до получим для силы трения, тормозящей движение пластинки в направлениии оси z и приходящейся на единицу длины пластинки в этом же направлении, выражение

Вводя число Рейнольдса

и коэффициент сопротивления трения обеих сторон пластинки

полученную силу торможения движения пластинки (8.4) можем представить в виде

Допустим, что вместо пластинки мы имеем круглый цилиндр длины l и радиуса а, который вращается вокруг своей оси с угловой

скоростью и обдувается потоком воздуха с наружной стороны поверхности цилиндра в направлении, параллельном оси цилиндра. Заменяя в правой части (8.6) скорость через та, получим силу торможения, приходящуюся на единицу длины окружности поперечного сечения. Умножая (8.6) на длину окружности и радиус а, получим полный момент сил торможения вращения рассматриваемого цилиндра

Таким образом, момент сил трения, тормозящий вращение цилиндра, зависит не только от угловой скорости вращения, но и от скорости набегающего потока воздуха. Обозначим момент инерции цилиндра относительно его продольной оси через J, тогда дифференциальное, уравнение вращения представится в виде

Если скорость набегающего потока будет известна как функция времени, то с помощью численных расчётов можно определить степень затухания вращения цилиндра, помещённого в потоке воздуха. Будем считать произведение настолько малым по сравнению с что можно пренебречь отношением по сравнению с единицей, тогда из (8.7) получим:

    (8.9)

где начальная угловая скорость вращения.

Коэффициент сопротивления, входящий в (8.9), определяется формулой (8.5). Если режим течения в пограничном слое не будет ламинарным, то значение коэффициента необходимо взять из соответственных формул для сопротивления трения пластинки при турбулентном режиме либо из результатов соответственных экспериментов.