ГЛАВА XI. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

§ 1. Общая постановка вопроса об устойчивости

В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел или сред определяют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится в механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда методов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова.

В главе IV были рассмотрены простейшие решения точных дифференциальных уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. На основании сказанного выше эти решения определяют класс пока только возможных простейших установившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, которые получили название ламинарных течений. Вопрос же о реальной осуществимости этих возможных простейших движений должен решаться отдельно либо с помощью непосредственной экспериментальной проверки основных особенностей ламинарных течений, либо с помощью теоретических исследований условий устойчивости этих течений. Экспериментальная проверка основных особенностей ламинарного течения, например, в круглой цилиндрической трубе показала, что для осуществимости ламинарного движения необходимо выполнение двух условий. Первое из этих условий заключается в том, что число Рейнольдса не должно превышать своего критического значения, т. е.

При этом иногда различают два критических числа Рейнольдса, одно из которых называют верхним, а второе — нижним. Под верхним

критическим числом Рейнольдса подразумевается то его значение, при котором можно ещё наблюдать прямолинейность траекторий всех частиц жидкости при наиболее благоприятных для этого условиях входа в рассматриваемую трубу. Нижнее критическое число Рейнольдса представляет собой то значение числа Рейнольдса, за пределами которого при произвольных условиях входа жидкости в трубу график коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме не будет представляться отрезком прямой, одинаково наклонённой к осям координат. На основании многочисленных опытов обнаружено, что, чем плавнее осуществляется вход жидкости в трубу, тем выше значение верхнего критического числа Рейнольдса. Но при этом оказывается, что при малейшем возмущении потока характер траекторий частиц резко изменяется. Если же число Рейнольдса не превышает значения нижнего критического числа Рейнольдса, то изменение условий входа жидкости в трубу, т. е. наложение возмущений на поток, не вызывает существенных изменений вида графика коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме. Отсюда мы заключаем, что ламинарное течение жидкости будет реально осуществимым, т. е. устойчивым, если число Рейнольдса не превышает своего нижнего критического значения.

Второе условие реальной осуществимости ламинарного течения связано с длиной начального участка трубы. Длина начального участка трубы должна быть достаточной для того, чтобы на протяжении этого участка всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, должны почти полностью исчезнуть, а основные признаки ламинарного течения почти полностью развиться. Как уже указывалось в главе X, длина начального участка трубы по результатам ряда экспериментов находится в прямой зависимости от числа Рейнольдса и от рчдиуса трубы, т. е.

где а — числовой множитель.

Таким образом, экспериментальная проверка возможности осуществления ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе привела к необходимости рассматривать этот вопрос с двух несколько различных точек зрения. С одной стороны, вопрос об осуществимости ламинарного течения в трубе непосредственно связывался с условиями устойчивости такого рода течения. С другой же стороны, этот вопрос тесно увязывался с условиями возможности развития основных признаков ламинарного течения в трубе. Благодаря этому обстоятельству теоретические исследования вопроса об осуществимости ламинарных течений также велись в двух различных направлениях. Основная часть теоретических исследований была направлена в сторону выяснения необходимых и достаточных условий устойчивости различных ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости. А вторая часть теоретических

исследований была направлена в сторону выявления основных особенностей развития ламинарного течения на начальном участке труб и диффузоров. О теоретических исследованиях, посвящённых развитию ламинарного течения на начальном участке, была речь в главе X. В данной же главе будут вкратце рассмотрены теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарного течения в нескольких простейших случаях.

Теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости и об условиях перехода этого течения в турбулентное были начаты ещё Рейнольдсом, Рэлеем, Кельвином, Лоренцем и были продолжены многими исследователями. Подробный перечень статей по этому вопросу приводится в конце первой статьи Лина. Из работ, опубликованных за последние годы по этому вопросу, можно назвать статью В. Беляковой.

Многочисленные теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарных течений, опубликованные в различных журналах и книгах по гидродинамике, можно распределить на две группы. К первой группе относятся те исследования, в которых преимущественно использовался метод малых колебаний и решение вопроса об устойчивости ламинарных течений сводилось к исследованию корней характеристического трансцендентного уравнения, явный вид которого для большинства случаев можно было установить лишь приближённо. Существо метода малых колебаний заключается в том, что на исследуемое ламинарное течение накладывается нестационарное поле малых скоростей, удовлетворяющих линеаризированным дифференциальным уравнениям. Последние уравнения получаются из полных уравнений движения вязкой жидкости после замены проекций скорости и давления через суммы проекций двух векторов скоростей и давлений исследуемого течения и наложенного поля возмущений и последующего отбрасывания из уравнений слагаемых, содержащих произведения производных по координатам от проекций вектора скорости поля возмущений. Затем рассматривается частный вид поля малых возмущений, отвечающий тому частному решению линеаризированных уравнений, в котором в качестве множителя входит показательная функция

содержащая в показателе время t и основную координату оси, параллельной скорости течения. При этом предполагается, что неизвестный множитель а может принимать только действительные значения, а для множителя (3 допустимы и комплексные значения. На частное решение линеаризированных уравнений поля возмущений сомножителем (1.3) в большинстве случаев накладывались граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам. Дальнейшая задача сводилась к решению обыкновенного дифференциального уравнения, к удовлетворению граничных условий и исследованию полученного с помощью последних характеристического уравнения, связывающего множители и а с числом Рейнольдса. Вопрос об устойчивости или неустойчивости ламинарного течения решался затем по знаку мнимой части множителя [3. Если мнимая часть этого множителя оказывалась отрицательной, то исследуемое течение считалось неустойчивым по отношению к возмущению этого рода, так как после своего возникновения амплитуда этих возмущений будет расти со временем. Если же эта мнимая часть оказывалась положительной при всех значениях множителя а и числа Рейнольдса, то делалось заключение о том, что исследуемое течение устойчиво по отношению к возмущениям частного вида (1.3).

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра, Кармана, Сайнджа и др.