Главная > Динамика вязкой несжимаемой жидкости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XI. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

§ 1. Общая постановка вопроса об устойчивости

В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел или сред определяют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится в механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда методов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова.

В главе IV были рассмотрены простейшие решения точных дифференциальных уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. На основании сказанного выше эти решения определяют класс пока только возможных простейших установившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, которые получили название ламинарных течений. Вопрос же о реальной осуществимости этих возможных простейших движений должен решаться отдельно либо с помощью непосредственной экспериментальной проверки основных особенностей ламинарных течений, либо с помощью теоретических исследований условий устойчивости этих течений. Экспериментальная проверка основных особенностей ламинарного течения, например, в круглой цилиндрической трубе показала, что для осуществимости ламинарного движения необходимо выполнение двух условий. Первое из этих условий заключается в том, что число Рейнольдса не должно превышать своего критического значения, т. е.

При этом иногда различают два критических числа Рейнольдса, одно из которых называют верхним, а второе — нижним. Под верхним

критическим числом Рейнольдса подразумевается то его значение, при котором можно ещё наблюдать прямолинейность траекторий всех частиц жидкости при наиболее благоприятных для этого условиях входа в рассматриваемую трубу. Нижнее критическое число Рейнольдса представляет собой то значение числа Рейнольдса, за пределами которого при произвольных условиях входа жидкости в трубу график коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме не будет представляться отрезком прямой, одинаково наклонённой к осям координат. На основании многочисленных опытов обнаружено, что, чем плавнее осуществляется вход жидкости в трубу, тем выше значение верхнего критического числа Рейнольдса. Но при этом оказывается, что при малейшем возмущении потока характер траекторий частиц резко изменяется. Если же число Рейнольдса не превышает значения нижнего критического числа Рейнольдса, то изменение условий входа жидкости в трубу, т. е. наложение возмущений на поток, не вызывает существенных изменений вида графика коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме. Отсюда мы заключаем, что ламинарное течение жидкости будет реально осуществимым, т. е. устойчивым, если число Рейнольдса не превышает своего нижнего критического значения.

Второе условие реальной осуществимости ламинарного течения связано с длиной начального участка трубы. Длина начального участка трубы должна быть достаточной для того, чтобы на протяжении этого участка всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, должны почти полностью исчезнуть, а основные признаки ламинарного течения почти полностью развиться. Как уже указывалось в главе X, длина начального участка трубы по результатам ряда экспериментов находится в прямой зависимости от числа Рейнольдса и от рчдиуса трубы, т. е.

где а — числовой множитель.

Таким образом, экспериментальная проверка возможности осуществления ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе привела к необходимости рассматривать этот вопрос с двух несколько различных точек зрения. С одной стороны, вопрос об осуществимости ламинарного течения в трубе непосредственно связывался с условиями устойчивости такого рода течения. С другой же стороны, этот вопрос тесно увязывался с условиями возможности развития основных признаков ламинарного течения в трубе. Благодаря этому обстоятельству теоретические исследования вопроса об осуществимости ламинарных течений также велись в двух различных направлениях. Основная часть теоретических исследований была направлена в сторону выяснения необходимых и достаточных условий устойчивости различных ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости. А вторая часть теоретических

исследований была направлена в сторону выявления основных особенностей развития ламинарного течения на начальном участке труб и диффузоров. О теоретических исследованиях, посвящённых развитию ламинарного течения на начальном участке, была речь в главе X. В данной же главе будут вкратце рассмотрены теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарного течения в нескольких простейших случаях.

Теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости и об условиях перехода этого течения в турбулентное были начаты ещё Рейнольдсом, Рэлеем, Кельвином, Лоренцем и были продолжены многими исследователями. Подробный перечень статей по этому вопросу приводится в конце первой статьи Лина. Из работ, опубликованных за последние годы по этому вопросу, можно назвать статью В. Беляковой.

Многочисленные теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарных течений, опубликованные в различных журналах и книгах по гидродинамике, можно распределить на две группы. К первой группе относятся те исследования, в которых преимущественно использовался метод малых колебаний и решение вопроса об устойчивости ламинарных течений сводилось к исследованию корней характеристического трансцендентного уравнения, явный вид которого для большинства случаев можно было установить лишь приближённо. Существо метода малых колебаний заключается в том, что на исследуемое ламинарное течение накладывается нестационарное поле малых скоростей, удовлетворяющих линеаризированным дифференциальным уравнениям. Последние уравнения получаются из полных уравнений движения вязкой жидкости после замены проекций скорости и давления через суммы проекций двух векторов скоростей и давлений исследуемого течения и наложенного поля возмущений и последующего отбрасывания из уравнений слагаемых, содержащих произведения производных по координатам от проекций вектора скорости поля возмущений. Затем рассматривается частный вид поля малых возмущений, отвечающий тому частному решению линеаризированных уравнений, в котором в качестве множителя входит показательная функция

содержащая в показателе время t и основную координату оси, параллельной скорости течения. При этом предполагается, что неизвестный множитель а может принимать только действительные значения, а для множителя (3 допустимы и комплексные значения. На частное решение линеаризированных уравнений поля возмущений сомножителем (1.3) в большинстве случаев накладывались граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам. Дальнейшая задача сводилась к решению обыкновенного дифференциального уравнения, к удовлетворению граничных условий и исследованию полученного с помощью последних характеристического уравнения, связывающего множители и а с числом Рейнольдса. Вопрос об устойчивости или неустойчивости ламинарного течения решался затем по знаку мнимой части множителя [3. Если мнимая часть этого множителя оказывалась отрицательной, то исследуемое течение считалось неустойчивым по отношению к возмущению этого рода, так как после своего возникновения амплитуда этих возмущений будет расти со временем. Если же эта мнимая часть оказывалась положительной при всех значениях множителя а и числа Рейнольдса, то делалось заключение о том, что исследуемое течение устойчиво по отношению к возмущениям частного вида (1.3).

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра, Кармана, Сайнджа и др.

1
Оглавление
email@scask.ru